In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

TBA

TBA

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

TBA

TBA

We will talk about necessary and sufficient conditions for an entire solution $u$ of a biharmonic equation with exponential nonlinearity $e^u$ to be a radially symmetric solution. We need to know the asymptotic expansions of the solution $u$ and its laplacian at infinity in order to apply the standard Moving-Plane-Method (MPM) for obtaining the radial symmetry for a system of equations.

Plan de l’exposé : 1/ Introduction (historique,origine des équations et comparaison avec équations de Navier-Stokes incompressibles). 2/ Position du problème (Estimations de l’énergie anisotropiques).

Résumé

This lecture is devoted to address the problem of controlling uncertain systems submitted to parametrized perturbations. We introduce the notion of averaged control according to which the average of the states with respect to the uncertainty parameter is the quantity of interest. We observe that this property is equivalent to a suitable averaged observability one according to which the initial datum of the uncertain dynamics is to be determined by means of averages of the observations done. We will first discuss this property in the context of finite-dimensional systems to later consider Partial Differential Equations, mainly, of wave and parabolic nature. As we shall see, surprisingly, the averaging process with respect to the unknown parameter may lead a change of type ion the PDE under consideration from hyperbolic to parabolic, for instance, significantly affecting the expected control theoretical properties. We will also present some open problems and perspectives of future developments.

Résoudre numériquement une EDP sur un grand domaine peut être couteux. Or parfois il est suffisant d’utiliser un modèle moins couteux dans une région de l’espace, loin de la zone d’interet. Pour le problème modèle de l’équation d’advection-diffusion nous proposons un algorithme de décomposition de domaine hétérogène qui permet d’obtenir une solution très proche de la solution visqueuse alors que dans une région de l’espace on se contente de résoudre une équation non visqueuse. Nous étudions cet algorithme et nous le comparons avec d’autres algorithmes de décomposition de domaine hétérogènes déjà  existants. Ceci est un travail en commun avec M.J. Gander et L. Halpern.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions radiales d’un modèle de chimiotaxie dans une boule, plus précisément à  un système parabolique-elliptique de type Keller-Segel avec sensitivité non-linéaire critique. Celui-ci est une généralisation du cas « linéaire » bien connu qui admet 8 pi comme masse critique. En dimension plus grande que deux, on verra que le système présente aussi un phénomène de masse critique mais avec de fortes différences qualitatives, notamment dans le cas de la masse critique. De plus, ce système peut être vu comme un flot gradient sur une « variété Riemannienne de dimension infinie ». Dans le cas sous-critique, en s’aidant de cette interprétation, on peut montrer que la convergence uniforme vers l’unique solution stationnaire a lieu à  vitesse exponentielle.

In this work, we consider two coupled abstract linear evolution equations with one infinite memory acting on the first equation. Under a boundedness condition on the past history data, we prove that the stability of our abstract system holds for convolution kernels having much weak decays than the exponential one considered in the literature. The general and precise decay estimate of solution we obtain depends on the growth of the convolution kernel at infinity and the regularity of the initial data. We also present various applications to some hyperbolic distributed coupled systems such as wave-wave, Petrovsky-Petrovsky, wave-Petrovsky and elasticity-elasticity.

The talk will be on the discretization of Navier-Stokes equations to simulate the dynamic of a fluid, a mesh adaptivity technique to capture multiple-shocks based on shock-filtering model will be presented. The talk will finish with some industrial applications.

Je présenterai un problème d’homogénéisation avec inclusions qui m’a conduit à  trouver des inégalités de Korn unilatérales utilisant la partie positive de la composante normale (et pour les domaines invariants par rotation une partie de la composante tangentielle). Je montrerai comment les établir simplement, et en même temps toute une série d’inégalités de Korn.

Résumé