Séminaires

This is an introductory talk to mathematics of active biosystems. The goal is to illustrate by simple examples how  mathematics changes when transition from traditional physics/materials problems to PDEs in biology. Before jumping into mathematics we present experimental videos of striking biological phenomena that motivate our study. The talk consists of three parts. First we give a brief introduction to homogenization theory which is a powerful mathematical tool for studying multiscale problems. Next we describe a PDE model of collective behavior for swimming bacteria and present mathematical results on the effective viscosity of bacterial suspensions. Finally we present a phase field PDE model of a crawling cell on a substrate and describe its surprising features such as self-sustained motion (traveling wave solutions) and spontaneous breaking of symmetry. In conclusion, we briefly discuss the concept of interdisciplinary mathematics.

Résumé

Cet exposé présentera des modèles mathématiques de la fermeture de trous dans des tissus épithéliaux. Ces modèles mettent en évidence l’importance de la géométrie des bords (en particulier la courbure locale à  chaque point de la frontière du tissu) et de l’adhésion à  la matrice extra-cellulaire pour la détermination du type de mécanisme de fermeture dominant.

L’équation de Klein-Gordon peut être écrite dans un cadre assez général sous la forme $(partia{l}_t^2-2ikpartia{l}_t+h)u=0$, o๠$h$ et $k$ sont des opérateurs autoadjoints. Lorsque $h$ n’est pas positif l’énergie naturelle conservée $Vertpartia{l}_{t}uVer{t}^2+(hu,u)$ n’est pas positive et en général aucune énergie positive conservée n’est disponible. De tels phénomènes apparaissent lorsque l’équation de Klein-Gordon est couplée à  un champ électrique fort o๠lorsqu’elle provient d’une géométrie lorentzienne sans champ de Killing global de type temps. Dans ce cas on parle souvent de superradiance. Un exemple typique est la métrique de De Sitter Kerr qui décrit des trous noirs en rotation. Nous allons décrire comment on peut obtenir dans un tel cadre des résultats de complétude asymptotique et donner quelques applications à  la métrique de De Sitter Kerr. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christian Gérard et Vladimir Georgescu.

The purpose of our talk is to introduce a framework that enables one to study general homogenization problems. We study the qualitative properties of generalized Besicovitch spaces, and prove some general compactness results related to these spaces. We then apply them to study some new homogenization problems.

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Sur quelques exemples simples de contrôle de systèmes d’équations paraboliques, quelques faits inhabituels dans le cas scalaire surgissent. Il apparaît que contrôlabilité approchée et contrôlabilité aux trajectoires ne sont pas toujours équivalentes, qu’il peut apparaître un temps minimal de contrôle et que contrôlabilité par le bord et contrôlabilité interne ne se déduisent pas l’une de l’autre et ne sont pas équivalentes.

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