The purpose of our talk is to introduce a framework that enables one to study general homogenization problems. We study the qualitative properties of generalized Besicovitch spaces, and prove some general compactness results related to these spaces. We then apply them to study some new homogenization problems.

Résumé

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Sur quelques exemples simples de contrôle de systèmes d’équations paraboliques, quelques faits inhabituels dans le cas scalaire surgissent. Il apparaît que contrôlabilité approchée et contrôlabilité aux trajectoires ne sont pas toujours équivalentes, qu’il peut apparaître un temps minimal de contrôle et que contrôlabilité par le bord et contrôlabilité interne ne se déduisent pas l’une de l’autre et ne sont pas équivalentes.

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Dans cet exposé, on présentera certains résultats sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion, dont le terme de réaction dépend de la variable $x-ct$, la position dans un repère mobile. Ces équations peuvent être comprises comme des modèles simplistes de dynamique de populations sous l’influence d’un changement climatique. On montrera en particulier qu’en présence d’un effet Allee faible (corrélation positive entre le taux de croissance d’une population et sa densité), la taille de la population initiale est cruciale pour la survie de l’espèce, ce qui n’est pas le cas pour une équation homogène semblable. Je consacrerai également une partie de cet exposé à  une présentation de certains résultats classiques sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion dans le cas homogène.