Séminaires

Résumé

Let us consider the bilinear Schr »{o}dinger equation $ipartia{l}_{t}psi(t)=Apsi(t)+u(t)Bpsi(t)$ in $L^2(G,mathbbC)$ for $G$ a compact quantum graph. We assume $B$ a bounded symmetric operator, $u$ a control function and $ps{i}^0$ is the initial state of the system. The operator $A=-Delta$ is the Laplacian equipped with self-adjoint type boundary conditions into the vertices of the graph. Provided the well-posedness of the equations, we present assumptions on $B$ and on the spectrum of $A$ implying the global exact controllability in suitable subspaces of $mathcalH$. When the previous assumptions fail, we introduce a weaker notion of controllability allows to provide interesting results also when the graph $G$ is a complex structure and we are not able to verify the spectral assumptions for the global exact controllability. »

Dans cet exposé on s’intéressera à  l’observation et au contrôle de l’équation des ondes dans certains cas « pathologiques ». Plus précisément, nous étudierons dans un premier temps la stabilité du processus de contrôle HUM lorsque les coefficients de l’équation sont mal connus (disons bruités). Puis on donnera des résultats d’observation/contrôle pour des équations à  coefficients très peu réguliers. Une partie des ces résultats a été obtenue en collaboration avec Sylvain Ervedoza (Cnrs, I.M. Toulouse ).

We will first review some variational formulations of the time-harmonic Maxwell equations with impedance boundary conditions in smooth and non-smooth domains. Secondly, the singularities of this system in polyhedral domains will be described. The talk is based on joint works with M. Costabel (Rennes), M. Dauge (Rennes) and J. Tomezyk (Valenciennes).

The problem under consideration belongs to the wide family of quantum wave guides. Such guides are unbounded domains endowed with a simple structure at infinity. For instance, in two dimensions, they coincide outside of a compact set with two half-strips of constant width. The Dirichlet Laplace operator in these guides has a non empty essential spectrum. The game is to investigate the presence of discrete spectrum under the threshold of the essential spectrum. In two dimensions the situation is well-known: For any wave guide of constant width and non identically zero curvature, bound states do exist. In three dimensions, recent results provide the existence of infinitely many bound states in conical layers with smooth profiles. In this talk we address the archetypic non smooth conical layer, which we name after Fichera. It can be viewed as an octant from which is removed another octant translated from the first one along the diagonal line of coordinates. We characterize the essential spectrum and prove that the discrete spectrum has at most a finite number of elements. Numerical computations tend to prove that there is exactly one bound state. We mention various generalizations of this result. From a joint work with Yvon Lafranche (Rennes) and Thomas Ourmières-Bonafos (Paris-Sud).

Joint work with Z. Ammari, and F. Nier. In this work, we study how multiscale analysis and quantum mean field asymptotics can be brought together. In particular we study when a sequence of one-particle density matrices has a limit with two components: one classical and one quantum. The introduction of « separating quantization for a family » provides a simple criterion to check when those two types of limit are well separated. We give examples of explicit computations of such limits, and how to check that the separating assumption is satisfied.

Résumé

Dans cette présentation, nous nous intéressons à  des questions d’invisibilité et de réflexion totale dans des guides d’ondes acoustiques à  section transverse bornée. Plus précisément, nous présentons deux approches permettant de construire des géométries pour lesquelles les coefficients de réflexion ou de transmission sont nuls à  fréquence donnée. Puis, dans un second temps, nous proposons une méthode spectrale, basée sur des techniques de dilatation analytique, pour déterminer, à  géométrie donnée, les fréquences pour lesquelles le guide est non-réflexif.

Nous discutons dans cet exposé de la limite du cout du controle a zero de l’equation d’advection-diffusion $y_t-epsilon{y}_{xx}+M{y}_x=0$ lorsque le paramètre $epsilon$ tend vers $0$. Cette limite dépend fortement du temps de contrôlabilité et du signe de M. A travers quelques remarques de nature théoriques et numériques, nous montrons à  quel point ce problème de contrôlabilité est singulier. Nous discutons notamment l’analyse asymptotique de l’équation.

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