Séminaires

Dans cet exposé je souhaite présenter un résultat d’existence de solutions fortes, locales en temps, pour un système fluide-structure avec conditions de bord mixtes. Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension 2 dans un domaine de type rectangulaire. La partie supérieure du domaine est une membrane dont le déplacement satisfait une équation d’Euler-Bernoulli amortie. Le résultat est donné sans aucunes hypothèses de petitesse sur les données initiales. Je conclurai en évoquant l’existence de solutions périodiques en temps pour ce système.

In this talk we will discuss rational quadrature rules in a general framework. Rather than focusing on theoretical aspects, we will discuss their advantages and disadvantages for practical use compared to classical (polynomial) quadrature rules, and deal with questions like « how to chose the poles” and « when to chose rational quadrature rules over polynomial quadrature rules”. We conclude with presenting some existing algorithms to compute the nodes and weights in certain types of rational quadrature rules.

When several stable states coexist, propagation phenomena are often observed in many fields including dissipative situations. To characterize the universal profiles of these phenomena, traveling wave solutions and entire solutions play important roles. Here traveling wave solution is meant by a solution of a partial differential equation that propagates with a constant speed, while it maintains its shape in space, and an entire solution is a solution defined for all space and time variables. In this talk we focus on the Allen-Cahn-Nagumo equation, which is a single reaction diffusion equation with bistable nonlinearity and explain how to construct entire solutions and the relation between traveling wave solutions and entire solutions.

On s’intéresse à  divers types de solutions de l’équation -Δφ = exp(-φ) : solutions infinies sur le bord du domaine, ou définies dans un domaine non-borné… en présence de singularités. Ces solutions interviennent dans l’étude de l’équilibre électrostatique d’un plasma au voisinage d’une pointe conductrice.

On preuve que les fonctions spéciales à  déformation bornée avec peu de saut sont proches dans le sens de l’énergie à  des fonctions qui sont régulières dans un domaine plus petit. Cela permet de généraliser l’inégalité de monotonie de De Giorgi, Carriero et Leaci au contexte linéarisé en dimension n et d’établir la fermeture de l’ensemble de saut pour les minimiseurs de l’énergie de Griffith.

Dans cet exposé, on discutera différents aspects de l’opérateur de Dirac en dimension trois, couplé à  un potentiel singulier supporté sur une surface. Après avoir motivé l’étude de tels objets, on s’intéressera brièvement au problème d’auto-adjonction pour des potentiels singuliers de type électrostatique ou de type scalaire de Lorentz. Pour cette dernière classe de potentiels, on étudiera la structure du spectre d’un tel opérateur et en particulier, on montrera que lorsque la masse de la particule tend vers l’infini, dans le cas d’un potentiel attractif, les valeurs propres se comportent au premier ordre comme les valeurs propres d’un opérateur effectif sur la surface. On verra que cet opérateur effectif est en fait un opérateur de Schrödinger avec champ de Yang-Mills couplé à  un potentiel électrique, le champ et le potentiel étant tous deux de nature géométrique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Markus Holzmann, Konstantin Pankrashkin et Luis Vega. [1.] A strategy for self-adjointness of Dirac operators: applications to the MIT bag model and delta-shell interactions, with Luis Vega, 30p., to appear in Publicacions Matemà tiques, arXiv:1612.07058, 2016. [2.] Dirac operators with Lorentz scalar shell interactions, with Markus Holzmann and Konstantin Pankrashkin, 41 p., submitted, arXiv:1711.00746, 2017.

Bernoulli’s free boundary problem is an overdetermined problem in which one seeks an annular domain such that the capacitary potential satisfies an extra boundary condition. There exist two different types of solutions: elliptic and hyperbolic solutions. Elliptic solutions are « stable » solutions and tractable by variational method and maximum principle, while hyperbolic solutions are « unstable » solutions of which the qualitative behavior is less known. I will present a recent joint work with Antoine Henrot in which we show the qualitative behavior of hyperbolic solutions by a new flow approach.

Résumé

On veut expliquer la forme des oeufs d’eulimnadia, petit animal vivant dans des mares éphémères, en utilisant les outils de l’optimisation de forme. En effet, la théorie de l’évolution laisse penser que la forme des objets que l’on retrouve dans la nature résulte d’un processus d’optimisation, c’est à  dire que leur forme est telle que l’objet en question est le plus à  même de résister aux contraintes qui s’exercent sur lui. On propose un critère naturel optimisé par la forme de l’oeuf, que l’on modélise mathématiquement par un problème de minimisation de fonctionnelle de forme s’écrivant comme combinaison convexe du rayon intérieur, du diamètre et de la densité, notion que l’on définira. On présente le travail réalisé jusqu’à  présent.

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