We consider the real hyperbolic space $H^n(R)$ as the symmetric space $\operatorname{Spin}_0(1, n) / \operatorname{Spin}(n)$.
We prove that the Poisson transform is an isomorphism between the space of $L^2$-spinors on the unit sphere $S^{n-1}$ and a certain weighted $L^2$-space consisting of joint eigenspinors on $H^n(R)$. For this purpose, we prove a Fourier restriction estimate and an asymptotic formula for the Poisson transform.
As a consequence we prove a characterization for the generalized spectral projections.
This is a joint work with A. Boussejra.

Les suites de Bernstein-Gelfand-Gelfand trouvent leur origine en théorie des représentations des groupes de Lie semi-simples. Divers travaux leur ont ensuite donné une interprétation géométrique comme suite d’opérateurs différentiels sur certains espaces homogènes. Ce point de vue a permis à Čap, Slovák et Souček de les généraliser aux variétés possédant une géométrie parabolique au sens de Cartan. Ces variétés étant naturellement filtrées, des travaux récents de Dave et Haller ont montré que les suites d’opérateurs BGG satisfaisaient une certaine forme de la condition de Rockland (une extension de l’ellipticité pour les opérateurs pseudodifférentiels).

Dans cet exposé nous étendons la construction d’opérateurs de type BGG aux variétés feuilletés admettant une géométrie parabolique transverse. Nous définissons une condition de Rockland transverse adaptée à ces variétés et montrons que le complexe de de Rham tordu et les suites d’opérateurs BGG satisfont cette condition.

L’équation d’Einstein peut être obtenue comme le système d’équations d’Euler-Lagrange associées au Lagrangien d’Hilbert-Einstein, qui est essentiellement la courbure scalaire. Le tenseur de courbure, et donc l’équation d’Einstein, peut être construit et étudié sur le fibré des repères de l’espace-temps. Nous présenterons un Lagrangien sur une variété de dimension 10 dont les solutions aux équations d’Euler-Lagrange équipent la variété d’une structure qui est presque celle de l’espace des repères d’une variété d’Einstein. Ceci nous mènera à introduire une structure qui généralise celle des espaces de repères munis d’une connexion principale.

Les groupes quantiques compacts de matrices sont des généralisations des groupes de Lie compacts dans le contexte de la géométrie non-commutative. Malheureusement, il leur manque certains aspects fondamentaux des groupes classiques, et notamment un analogue de l’algèbre de Lie qui permettrait de définir une structure Riemannienne. Cela dit, on peut aussi retrouver cette structure de façon probabiliste à l’aide du mouvement Brownien. Je présenterai quelques travaux montrant comment cette approche probabiliste peut s’étendre au cadre quantique et éclairer le problème de la structure géométrique de ces groupes quantiques.

L’algèbre de Hopf des battages joue un rôle central dans la théorie des chemins rugueux formulée par T. Lyons à la fin du siècle dernier. Ceux-ci sont un substitut des intégrales itérées de Chen lorsque les chemins considérés ne sont pas différentiables, ni même Lipschitziens, mais seulement continus avec une régularité de Hölder.  L’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer, dont une base est donnée par les forêts enracinées décorées, joue un rôle similaire dans la théorie des chemins rugueux branchés developpée par M. Gubinelli quelques années plus tard. Au cours de cet exposé, je ferai une présentation succincte de la théorie des chemins rugueux, puis j’aborderai d’autres variantes de la notion de chemin rugueux, pilotés par d’autres algèbres de Hopf combinatoires.

Un opérateur de brisure de symétrie (SBO) est un opérateur d’entrelacement d’une représentation d’un groupe à une représentation irréductible d’un sous-groupe. Si $\Pi$ et $\Pi’$ sont en dualité de Howe, l‘espace des opérateurs brisant la symétrie de la représentation de Weil à la représentation $\Pi\otimes\Pi’$ est unidimensionnel. A une constante non-nulle près, dans cet espace il y a donc un unique SBO non trivial. La construction explicite du SBO apporte des informations supplémentaires sur la correspondance de Howe. Dans cet exposé, qui se base sur un projet en cours avec Mark McKee et Tomasz Przebinda (Université de l’Oklahoma), on étudiera les SBO correspondant à des paires duales réductives irréductibles ayant un membre compact. Ce sont des opérateurs pseudo-différentiels, dont nous calculons les symboles de Weyl. On présentera quelques résultats, exemples et applications.

In the past decades a kind of „quantum mathematics“ has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

Let $X=G/K$ be a Riemannian symmetric space of non compact type with real rank one. For $\lambda \in \mathbb{C}$ and $f$ an integrable function on the Furstenberg boundary $K/M$, the Poisson transform $P_\lambda$ of $f$ is given by

$
(P_\lambda f)(x)=\int_{K/M} e^{(i\lambda+\rho)A(x,b)}f(b)db, \quad \mbox{for} \; x\in X.
$

The aim of this talk is to present a necessary and a suffucient condition on eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator associated to $X$ with eigenvalue $-(\lambda^2+\rho^2)$ to have an $L^p$-Poisson integral representations on the boundary $K/M$. A special discuss of the case of the exceptional symmetric space.

La relation entre le spectre du laplacien et les géodésiques fermées sur une variété riemannienne compacte est l’un des thèmes centraux de la géométrie différentielle. Fried a conjecturé que la torsion analytique, qui est un produit alterné de déterminants régularisés des laplaciens, est égale à la valeur en zéro de la fonction zêta dynamique. Dans cet exposé, je montrerai la conjecture de Fried sur des espaces localement symétriques tordus par un fibré vectoriel plat acyclique obtenu par une représentation du groupe de Lie sous-jacent. Cela généralise les résultats de moi-même pour les fibrés unitaires, et les résultats de Brocker, Muller et Wotzker sur les variétés hyperboliques.

Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.

Nous donnons une caractérisation des ensembles $D_p (1 < p < 2)$ des nombres complexes $c$ tels que $z\mapsto \frac{1+z}{2}+c\left(\frac{1-z}{2}\right)^{p}$ soit une self-map du disque unité fermé, et nous montrons que ces ensembles sont croissants en fonction de $p$.

The principal symbol of a pseudodifferential operator is homogeneous and shows, therefore, a certain invariance under the $\mathbb R_{>0}$-action by scaling.The scaling action can be extended to the so called zoom action of $\mathbb R_{>0}$ on the tangent groupoid. In this talk, I will explain why order zero pseudodifferential operators can be viewed as generalized fixed points of the zoom action in the sense of Rieffel.
This method is applicable in more general situations, for example for filtered manifolds. Here, we recover the order zero pseudodifferential extension by van Erp and Yuncken. Our approach allows to compute the spectrum of the noncommutative symbol algebra. This gives a Fredholm criterion for pseudodifferential operators in this calculus in terms of a Rockland condition.

Depuis les années 1980 le problème de la démonstration de la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes semisimples a conduit Kasparov et ses émules à s’intéresser au complexe BGG (Bernstein–Gelfand–Gelfand) associé aux espaces de drapeaux.

Nous expliquerons, dans le cas du rang réel 1, comment ce complexe donne un module de Fredholm qui réalise l’élément gamma de Kasparov et devrait permettre de démontrer la conjecture.

La notion d’ensemble de Kazhdan dans un groupe topologique provient de la théorie géométrique des groupes, en lien avec la propriété (T) de Kazhdan. L’existence d’un ensemble de Kazhdan « petit » implique une certaine« rigidité » du groupe. Dans notre exposé, de type colloquium, on regardera les ensembles de Kazhdan d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et d’un point de vue aléatoire. On discutera aussi le rôle joué par les ensembles de Kazhdan dans un contre-exemple à une conjecture de Russell Lyons (1998), motivée par la conjecture $\times 2$, $\times 3$ de Furstenberg. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Sophie Grivaux et Etienne Matheron.