Je vais donner un survol des groupes quantiques semi-simples du point de vue géométrie non-commutative.  Je commencerai par expliquer la quantification des groupes de Lie semisimples compacts et complexes. Puis on discutera la géométrie des variétés de drapeaux quantiques, en commençant par l’exemple fondamental de la sphère de Podlès, une quantification de la sphère de Riemann $\mathbb{C}\mathbb{P}^1.$

Almost-Riemannian manifolds constitute a class of manifolds with singular metric tensors. They give rise to well defined metric spaces and can be seen as the simplest non-equiregular sub-Riemannian structures. They attracted a lot of interested lately due to the quantum confinement phenomena, which states that a quantum particle on some classes of almost-Riemannian manifolds is confined by the singularity, while a classical particle modelled by the geodesics is not. I will explain some results concerning this phenomena, including some recent works by myself and together with U. Boscain and E. Pozzoli.

Soutenance de these

Après avoir introduit le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe, j’en donnerai quelques propriétés en faisant un parallèle avec les groupes linéaires.

On a surface M with strict negative curvature given two closed curves $c_1,c_2$, the Poincaré series is a complex function counting orthogeodesic arcs joining the two curves, in the same way the Riemann zeta function counts the primes. I will first discuss the meromorphic continuation of the Poincaré series and when the curves are homologically trivial, I will explain why the value at 0 is a well–defined rational number which can be interpreted as linking of Legendrian knots. A corollary of our result is that for any pair of points (x,y) in M x M, the lenghts of the geodesics joining the two points determine the genus of M.

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We consider a Dirac system confined to a bounded domain in the plane. This amounts to a family of boundary conditions. There are two extreme cases, zig-zig and Infinite-mass boundary conditions. Consider a magnetic field perpendicular to the plane. I will present results on accurate asymptotics of the energy spectrum of the underlying Hamiltonian in the strong magnetic field limit. We will compare the results for different boundary conditions.

(This is based on joint collaboration with Jean-Marie Barbaroux, Loic Le Treust and Nicolas Raymond)

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Résumé

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, où la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, o๠la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à des régularisants près, à ce calcul intégral de Fourier.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à  l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à  des régularisants près, à  ce calcul intégral de Fourier.

Cet exposé concerne la relation entre l’analyse des opérateurs différentiels et les représentations des groupes de Lie nilpotent. La condition de Rockland généralise l’ellipticité pour les opérateurs différentiels sur les variétés qui à  l’échelle infinitésimale ressemblent à  un groupe de Lie nilpotent. C’est le cas pour la géométrie de contacte et les géométries paraboliques, par exemple. Un résultat de Melin, jamais publié, montre que de tels opérateurs vérifient les propriétés d’hypoellipticité et de Fredholm sur une variété compact. Une nouvelle preuve avec le groupoïde d’holonomie d’un feuilletage singulier nous permet de généraliser en même temps le théorème des sommes-de-carrés de Hörmander et obtenir des nouvelles classes d’opérateurs hypoelliptiques. (Travaux en commun avec I. Androulidakis, O. Mohsen et E. van Erp.)

I will review the strategy of integration of Lie n-algebroids to Lie n-groupoids using the « path method » coming from Sullivan’s Rational Homotopy Theory. I will then explain how to solve the main analytic problem of this strategy, which is to show that the spaces of solutions of generalized Maurer-Cartan equations are actually manifolds. These results can be used to show that a « local integration » of Lie algebroids indeed produces local Lie n-groupods. Based on a joint work with Michal Å iraň.

Après une introduction aux groupes hautement transitifs et aux groupes agissant sur un arbre, je présenterai un résultat récent, en collaboration avec F. Le Maître, S. Moon et Y. Stalder caractérisant les groupes agissant sur un arbre qui sont hautement transitifs.

On Euclidean space, the Fourier transform intertwines partial derivatives and coordinate multiplications. As a consequence, solutions to a constant coefficient PDE $p(D)u=0$ are mapped to distributions supported on the variety ${p(x)=0}$. In the context of unitary representation theory of semisimple Lie groups, so-called minimal representations can often be realized on Hilbert spaces of solutions to systems of constant coefficient PDEs whose inner product is difficult to describe (the non-compact picture of a degenerate principal series). The Euclidean Fourier transform provides a new realization on a space of distributions supported on a variety where the invariant inner product is simply an $L^2$-inner product on the variety (by the work of Vergne-Rossi, Sahi, Kobayashi-à˜rsted and Möllers-Schwarz). Recently, similar systems of differential operators have been constructed on Heisenberg groups. In this talk I will explain how to use the Heisenberg group Fourier transform to obtain an $L^2$-model for minimal representations in this context.

Il s’agit d’un travail en commun avec Bénoit Dhérin (Dublin) publié en 2015. Le dual d’une algèbre de Lie g (réelle de dimension finie) est une variété de Poisson grâce au crochet de Kostant-Kirillov-Souriau (KKS). Le starproduit de Simone Gutt en fournit une quantification par déformations et est lié à  l’intégration d’une algèbre de Lie en groupe de Lie. Une algèbre de Leibniz (à  gauche, réelle de dimension finie) est un espace vectoriel h muni d’un crochet qui vérifie que le crochet est une dérivation de lui-même: [x,[y,z]] = [[x,y],z] + [y,[x,z]]. C’est une généralisation non forcément antisymétrique des algèbres de Lie. D’o๠la question (d’Alan Weinstein) de savoir dans quel sens les duaux d’algèbres de Leibniz sont des variétés de Poisson et si elles admettent une quantification par déformation. Nous répondons dans notre travail avec B. Dhérin à  ces deux questions. La démarche est la suivante: Cataneo-Dhérin-Weinstein ont introduit des micromorphismes entre germes de variétés symplectiques afin de rendre la quantification fonctorielle. Dans leur théorie, des fonctions génératrices de micromorphismes jouent le rôle de phase dans des intégrale oscillantes (opérateurs Fourier intégraux). L’expansion en phase stationnaire de ces intégrales fournit alors la quantification par déformations. Nous construisons une fonction génératrice associée au crochet de Leibniz et obtenons ainsi une quantification par déformations des duaux d’algèbres de Leibniz. La notion de variété de Poisson généralisée qui en découle (limite semiclassique) est très faible. Le crochet de Poisson généralisée est l’évaluation en 0 en une variable du crochet KKS.