Les journées SL2R « Théorie des Représentations et Analyse Harmonique » se tiendront à l’Université du Lorraine les jeudi 12 et vendredi 13 Mai 2020. Ce colloque tournant — entre les universités de Strasbourg, Lorraine, Luxembourg et Reims (=SL2R) — regroupe deux à trois fois par an les mathématiciens de ces quatre universités travaillant en théorie des représentations et en analyse harmonique.

Cette édition sera en l’honneur du Professeur Jacques Faraut, l’un des fondateurs du précurseur des journées SL2R : le séminaire Nancy-Strasbourg (organisé par P. Eymard – R. Takahashi de Nancy et J. Faraut – G. Schiffmann de Strasbourg).

Pour participer, merci de remplir le formulaire form et de l’envoyer à khalid.koufany@univ-lorraine.fr et wolfgang.bertram@univ-lorraine.fr

Le programme, les participants et toutes les informations pratiques sont à retrouver sur le site web de l’événement : http://khalid-koufany.perso.math.cnrs.fr/SL2R2022/index.html

Let G be a non-compact connected semisimple real Lie group with finite center. Suppose L is a non-compact connected closed subgroup of G acting transitively on a symmetric space G/H such that L\cap H is compact. We will describe the action on L/L\cap H of a Dirac operator D_{G/H}(E) acting on sections of an E-twist of the spin bundle over G/H. We will illustrate the results in an SL(2) example.  This is joint work with Salah Mehdi.

The quantum gauge theory is the current basis for explaining the interactions of elementary particles. Among the four fundamental interactions: electromagnetic, weak, strong, and gravitational, for the last two, a proper mathematical construction does not yet exist. Quantum gauge theory is based on three different branches of mathematics: 1) geometry, 2) group theory, and 3) functional analysis.

The strong interactions are studied in the SU(3) quantum Yang-Mills theory but an axiomatic QFT with the mass gap and color confinement does not yet exist. In the classical field theory model, the gluon^1 is a massless particle but one can not see the color-charge^2 of a particle in nature, and then the gluons must be in the bound states, forming massive particles. This is the mass gap problem. The mass gap is the difference in energy between the vacuum and the next lowest energy state. The energy of the vacuum is zero by definition, and the mass gap is the mass of the lightest particle. However, the color confinement postulated permits only bound states of gluons, it is an obvious contradiction.

In this presentation, I would like to discuss the fact that if we replace: 1)  Minkowskian geometry with the de Sitterian geometry, 2) Poincaré group with de Sitter group and 3) Hilbert space quantization with the Krein space quantization, an axiomatic quantum Yang-Mills theory with a mass gap and the color confinement can be constructed. It is important to note that the ambient space formalism allows us to make this construction possible.

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1 . A gluon is an elementary particle that acts as the exchange particle (or gauge boson) for the strong force between quarks.

2 . Color charge is a property of quarks and gluons that is related to the particles’ strong interactions in the theory of quantum chromodynamics

If we have a flat vector bundle E over a compact manifold M, then we can form the de Rham cohomology H(M; E) of the M twisted by E. Given a Riemannian metric on M, this cohomology can be realised as the kernel of a Laplacian, via the Hodge theorem. Using the same Laplacian, In 1971, Ray and Singer defined the analytic torsion of M (now also assumed oriented), twisted by E. If H(M; E) vanishes, then analytic torsion is independent of the Riemannian metric used to define the Laplacian, and therefore a smooth invariant. Ray and Singer’s motivation for this definition was to give an analytic way to realise Reidemeister-Franz torsion, a combinatorial invariant of finite cell complexes. In 1978, Cheeger and Müller proved independently that these two notions of torsion are indeed equal. Fried’s conjecture from 1986 is a relation between analytic torsion and the Ruelle dynamical zeta function of a flow on M with suitable properties. That is a quantity involving the lengths of closed flow curves. So analytic torsion gives us a link between analysis, topology and dynamical systems. Most of this talk is a survey of analytic torsion. I will also mention some recent work with Hemanth Saratchandran on an equivariant version of analytic torsion for proper group actions.

Let I and J be two orthogonal respectively left and right coideal $*$-subalgebras of a dual pair of Hopf $*$-algebras. We define the Drinfeld double coideal of J and I. Next, we define for $0<q<1$ the unital $*$-algebra $U_q(sl(2,R))$, quantizing the universal enveloping $*$-algebra of $sl(2, R)$, as the Drinfeld double of the equatorial Podles sphere coideal $*$-subalgebra of $O_q(SU(2))$ and its associated orthogonal coideal $*$-subalgebra of $U_q(su(2))$. We finally classify its admissible irreducible $*$-representations.

(Travail commun avec P. Delorme). Soit $G$ un groupe de Lie réductif réel, muni d’une involution $\sigma$ et $\Gamma$ un sous-groupe discret cocompact. Nous établissons une formule des traces relative, en lien avec $\Gamma$ et $H=G^\sigma$, exprimant la somme de  certaines intégrales orbitales de $f\in C_c^\infty(G)$ en terme de  coefficients généralisés de représentations unitaires irréductibles de $G$. Lorsque $G/H$ admet une série discrète relative $\pi_0$, l’existence de pseudocoefficient relatif pour $\pi_0$ à support « petit » implique, via la formule des traces relative,  que $\pi_0$ intervient dans la décomposition spectrale de $L^2(\Gamma\backslash G)$. Nous étudions l’existence de tels pseudocoefficients pour les espaces hyperboliques et les espaces symétriques de type $G(\mathbb{C})/G(\mathbb{R})$.

I will present several applications of the Dirac inequality to the determination of unitary representations of p-adic groups and associated « spectral gaps ». The method works particularly well in order to attach irreducible unitary representations to the large nilpotent orbits (e.g., regular, subregular) in the Langlands dual complex Lie algebra. These results can be viewed as a p-adic analogue of Salamanca-Riba’s classification of irreducible unitary (g,K)-modules with strongly regular infinitesimal character.

Nous nous intéressons à l’analyse d’équations aux dérivées partielles posées sur des groupes de Lie nilpotents gradués et tout particulièrement à des phénomènes dits ‘haute fréquence’. Nous expliquerons comment l’on peut utiliser l’analyse harmonique du groupe pour développer une approche semi-classique, en analogie avec la théorie bâtie dans les années 70 sur l’espace ou le tore euclidien. Nous donnerons des exemples en lien avec les groupes de type Heisenberg.

Nous étudions la transformation de Poisson des hyperformes différentielles sur la sphère $S^{n-1}$ vue comme frontière de Furstenberg de l’espace hyperbolique réel $H^n(\mathbb R)$.
Pour $1< r < \infty$, $0\leq p < (n-1)/2$ et $q=p-1, p$, nous montrons de cette transformation est un isomorphisme topologique de l’espace $L^r$ des  $q$-hyperformes  de $S^{n-1}$ sur un sous-espace de type Hardy de l’espace des $p$-formes de $H^n(\mathbb R)$ qui sont functions propres du Laplacien de Hodge-de Rham.
(Travail en collaboration avec S. Bensaid et A. Boussejra)

Les notions de base sur les immeubles affines seront introduites : ces espaces sont des complexes cellulaires attachés à des groupes de Lie non archimédiens pour mieux les comprendre. Ensuite, quelques procédures classiques pour compacter ces espaces seront décrites, par analogie avec les espaces symétriques riemanniens non compacts. Ce sera enfin l’occasion d’expliquer en quel sens les compactifications de Martin fournissent un moyen naturel et analytique d’obtenir des compactifications « à gros bord » (obtenues plus artificiellement auparavant).

La description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts, c.à.d. couplés à un environnement externe, pose des problèmes pas encore présents aux systèmes classiques. En particulier, le bruit quantique présent dans des équations Langevin est non markovien. Heuristiquement, on peut caractériser un bruit quantique par les propriétés suivants : (i) commutateurs canoniques aux temps égaux (ii) formule de Kubo pour la réponse linéaire (iii) théorème du viriel et surtout (iv) théorème fluctuation-dissipation quantique. Cette dernière propriété garantit pour toute température T>0  la relaxation du système vers un état d’équilibre quantique. Mathématiquement, cette caractérisation du bruit quantique est équivalente à la description traditionnelle de Caldeira et Leggett et de Ford-Kac-Mazur du type système-interaction-bain.

Le modèle sphérique a été introduit, par Berlin et Kac en 1952, afin de disposer d’un système exactement résoluble et capable d’avoir des transitions de phases à l’équilibre dont le propriétés ne se conforment pas à la théorie du champ moyen. Nous analysons ici les transitions de phases dynamiques qui se présentent lors du vieillissement, après une trempe du système initialement désordonné ,vers le point critique ou bien dans la phase ordonnée. Par rapport au cas classique (décrit par un bruit blanc markovien), des nouvelles techniques pour la solution explicite des équations Langevin sont requises. Ainsi on peut étudier la pertinence des propriétés non markoviens du bruit quantique sur la dynamique aux temps longs. Au cas de la dynamique quantique à température T=0, plusieurs différences qualitatives par rapport à la dynamique classique sont mises en évidence.

[1] R. Araújo, S. Wald, MH , J. Stat. Mech. 053101 (2019) [arxiv:1809.08975]

[2] S. Wald, MH, A. Gambassi, J. Stat. Mech. sous presse (2021) [arxiv:2106.08237]

Pas d’exposé en raison des journées SL2R à Strasbourg :

http://irma.math.unistra.fr/article1841.html

Soient $G=\mathrm{Spin}(n, 1)$ et $P$ un sous-groupe parabolique minimal de $G$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de $G$. Dans cet exposé, je vais parler de la restriction de $\pi$ à P. Il s’agit d’un travail en commun avec Y. Oshima et J. Yu.