Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

Je donnerai la définition d’une structure k-Poisson vue comme une généralisation d’une structure k-plectique, étendant, en dimensions supérieures, le cas de la géométrie de Poisson et de la géométrie symplectique. Pour cela je suivrai l’article de Bursztyn, Cabrera, Iglesias : « Multisymplectic geometry and Lie groupoids » et je présenterai des définitions équivalentes permettant une utilisation plus facile. Pour finir, j’introduirai les structures k-Dirac qui généralisent ces notions et je développerai des exemples.

For a large class of unital $C^*$-algebras $A$, we  calculate the $K$-theory of reduced crossed products $A^{\otimes G}\rtimes_rG$ of Bernoulli shifts  by groups satisfying the Baum-Connes conjecture. In particular, we give explicit formulas for finite-dimensional $C^*$-algebras, UHF-algebras, rotation algebras, and several other examples. As an application, we obtain a formula for the $K$-theory of reduced $C^*$-algebras of wreath products $H\wr G$ for large classes of groups $H$ and $G$.
Our results are motivated and generalize earlier results of Xin Li about the K-theory of lamplighter groups.

(joint work with Sayan Chakraborty, Julian Kranz, and Shintaro Nishikawa)

We study the behaviour of the spectrum of the spin Dirac operator on degenerating families of Riemannian surfaces, when the length of a simple closed geodesic shrinks to zero. We work under the hypothesis that the spin structure along the pinched geodesic is non-trivial. It is well-known that the spectrum of an elliptic differential operator on a compact manifold varies continuously under smooth perturbations of the metric. The difficulty of our problem arises from the non-compactness of the limit surface, which is of finite area with two cusps.

Selon une conjecture de Bernstein et Schwarzman, le quotient d’un espace affine complexe par un groupe cristallographique irréductible engendré par des réflexions est un espace projectif à poids. La conjecture fut démontrée par Schwarzman et Tokunaga-Yoshida pour presque tous tels groupes en dimension 2, et par Looijenga, Bernstein-Schwarzman et Kac-Peterson pour ceux de type Coxeter en toute dimension.

Dans cet exposé je présenterai un travail en commun avec Dimitri Markushevich dans lequel nous démontrons la conjecture pour l’unique groupe cristallographique engendré par des réflexions en dimension 3 dont la partie linéaire est le groupe simple de Klein, selon la classification de Popov. La preuve repose sur le calcul de la fonction de Hilbert de l’algèbre des invariants des fonctions thêta. Depuis la publication de notre travail, Rains a proposé une approche de la conjecture en toute généralité.

A plasmon of a bounded domain $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ is a nontrivial bounded function on $\mathbb R^n\setminus \partial \Omega$ which is continuous at $\partial \Omega$ and whose interior and exterior normal derivative at $\partial \Omega$ have a constant ratio.
This ratio is called a plasmonic eigenvalue of $\Omega$.

Our longterm term goal is to understand this problem on a manifold with fibered cusp singularities. A prototypical example would be the complement of two touching strictly convex domains in $\mathbb R^n$.
The problem requires a precise analysis of the Dirichlet-to-Neumann operator in this setting. In a first step, we consider the Calderón projector for general elliptic differential operators of arbitrary order associated with this type of singularity, so-called $\phi$-differential operators. We show that the Calderón projector is a $\phi$-pseudodifferential operator in the sense of Mazzeo and Melrose. Next we study the Dirichlet-to-Neumann operator for Laplacians associated with fibered cusp metrics and obtain that it also is a $\phi$-pseudodifferential operator of order one.

This is a report on ongoing work with Karsten Fritzsch and Daniel Grieser.

Les bases cristallines ont été introduites en 1990 par Kashiwara. Ses motivations provenaient de calculs dans la théorie des systèmes intégrables sur réseaux suivant une méthode initiée par Baxter. Heuristiquement, ces calculs se simplifient et deviennent praticables lorsque la température absolue tend vers 0 et que les systèmes « cristallisent ». Les bases cristallines sont des bases très spéciales des algèbres enveloppantes quantiques de Drinfeld et Jimbo, qui deviennent des objets purement combinatoires lorsque le paramètre quantique q tend vers 0. Elles ont permis de résoudre des questions importantes de théorie des représentations. En 1993 Berenstein et Zelevinsky ont commencé à explorer les propriétés multiplicatives de la base cristalline supérieure. Ils ont proposé une conjecture étonnante: si deux éléments de cette base q-commutent, leur produit appartient à la base. En 2001, après avoir découvert des contre-exemples, j’ai proposé une version corrigée de cette conjecture dans laquelle on rajoute l’hypothèse que l’un des deux éléments est « réel », c’est-à-dire que son carré appartient à la base. La conjecture corrigée a été démontrée par Kang-Kashiwara-Kim-Oh en 2018 en utilisant une catégorification des éléments de la base cristalline par des modules simples sur une algèbre de Hecke-carquois.

Après une introduction aux bases cristallines et à la conjecture de Berenstein-Zelevinsky, j’expliquerai les grandes lignes de la preuve de Kang-Kashiwara-Kim-Oh.

We re-visit Imbert’s theorem stating that Thompson’s group T is isomorphic to the universal Ptolemy group.  After interpreting this result in terms of bipartite Farey tree and continued fractions, we present an extension of the above result to Thompson’s group V. If time permits we discuss further generalizations.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d’Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique obtenue en collaboration avec Bismut pour les intégrales orbitales semi-simples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Si le temps le permet, j’aborderai également une application sur la théorie de K-type minimal de Vogan, ce qui constitue un travail en cours avec Y. Song et X. Tang.

Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Avec Hadi Salmasian, nous avons récemment obtenu une classification des paires duales réductives irréductibles dans le supergroupe de Lie orthosympléctique, ainsi qu’une généralisation du théorème de double commutant pour l’algèbre de Weyl Clifford. En particulier, cela nous donne la dualité de Howe lorsque l’action du supergroupe (G, g) est semisimple. 

Je commencerai mon exposé par un (long) rappel sur la correspondance de Howe classique pour la représentation métapléctique et spinorielle (travail en commun avec Clément Guérin et Gang Liu), avant de présenter les résultats obtenus pour les supergroupes/superalgèbres.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.

Mon exposé sera conçu comme une introduction au travail récent [hal-04231695]
en collaboration avec Pierre Germain (Imperial College) et Tristan Léger (Princeton).
Dans le cas des surfaces hyperboliques d’aire infinie, nous y établissons des estimations
$L^2-L^p$ quasi-optimales des projecteurs spectraux dans une petite fenêtre.
Je commencerai par rappeler l’origine du problème,
lié au théorème de restriction de Tomas-Stein dans le cas euclidien,
et par passer en revue différents cas d’études, où la réponse attendue est moins clair

We study various kinds of Grassmannians or Lagrangian Grassmannians over R, C or H, all of which can be expressed as G/P where G is a classical group and P is a parabolic subgroup of G with abelian unipotent radical. The same Grassmannians can also be realized as (classical) compact symmetric spaces G/K. We give explicit generators and relations for the de Rham cohomology rings of G/P=G/K. At the same time we describe certain filtered deformations of these rings, related to Clifford algebras and spin modules. While the cohomology rings are of our primary interest, the filtered setting of K-invariants in the Clifford algebra actually provides a more conceptual framework for the results we obtain. This is joint work with Kieran Calvert and Kyo Nishiyama.

In the past decades a kind of « quantum mathematics » has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

La décomposabilité géométrique  pour un groupoïde peut-être vue comme une forme d’implémentation de la technique de « cut-and-pasting » utilisée par G. Yu dans sa preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes de dimension  asymptotique finie.

Dans cet exposé, nous introduirons tout d’abord ce concept de décomposabilité, puis nous établirons le lien avec la dimension asymptotique et plus généralement avec la notion de décomposabilité  à complexité finie pour un espace métrique. Nous donnerons des applications à la moyennabilité des groupoïdes (en particulier à celle des actions de groupes). Si le temps nous le permet nous discuterons d’applications à la calculabilité en K-théorie (en particulier à la conjecture de Baum-Connes).

Un groupe de Lie semisimple G peut être placé dans une famille de déformations qui aboutit dans le groupe de mouvements de Cartan.  Cette idée provient de Mackey avec clarification par Higson et Afgoustidis.  Si G est complexe, sa structure de Poisson-Lie permet une famille de déformations de $G$ dans des groupes quantiques découverts par Drinfeld, Woronowicz et d’autres.  Les deux déformations sont réunis dans des travaux de Monk & Voigt.  Dans cet exposé, j’essayerai de dessiner cette famille de déformations à 2 paramètres ainsi que ses duaux réduites.  Rien ne sera original.  Si le temps et l’enthousiasme le permet, j’ajouterai quelques réflexions speculatives sur le cas réel.

Let $G$ be a finite pseudo-reflection group and $\Omega$ be a bounded domain in $\mathbb C^d$ which is $G$-invariant. The quotient domain $\Omega/G,$ is biholomorphically equivalent to a domain ${{\boldsymbol \theta}} (\Omega)$ where ${{\boldsymbol \theta}} : \Omega \to {{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ is a basic polynomial map. Prominent example of a quotient domain is the symmetrized polydisc $\mathbb G_d$ in $\mathbb C^d.$ In this case, the basic polynomial map is given by $z \to (s_1(z), s_2(z), \cdots s_d(z))$ from $\mathbb D^d$ (unit polydisc in $\mathbb C^d$) to $\mathbb G_d$ where $s_j(z)$ is the $j$-th elementary symmetric polynomial. We study properties of Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on ${{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ by establishing a connection of them with Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on $\Omega.$ Results on zero product problem and commuting pairs of Toeplitz operators will be explained. Representation theory of $G$ and projections to isotypic components play an important role in our results. (Joint work with Gargi Ghosh)