Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-mu u$ pour $p>q>1$ et $mu$ une constante positive. Dans ce cas, la non-dégénérescence de l’unique solution positive permet d’en analyser le comportement dans différents régimes du paramètre $mu$ et donne l’unicité des minimiseurs de l’énergie à  masse fixé dans certains régimes. Mon exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.

Résumé

Les sous-groupes discrets de SL(2;R) peuvent s’interpréter géométriquement comme des orbi-surfaces hyperboliques. En l’absence de torsion, une représentation de dimension finie d’un tel groupe donne lieu à  un système local sur la surface. Pour comprendre la classification de ces derniers à  isomorphisme près (sur une surface compacte), il est utile de disposer de métriques hermitiennes spéciales sur ces objets. La théorie de Corlette permet de ramener cela à  la construction d’applications harmoniques équivariantes qui vont du plan hyperbolique vers l’espace symétrique d’un groupe de Lie semi-simple. Le but de l’exposé est de rappeler les grandes lignes de cette théorie et de montrer comment élargir ce point de vue géométrique pour inclure le cas des sous-groupes discrets de SL(2;R) possédant de la torsion. Une application possible de ce travail en commun avec D. Alessandrini et G.S. Lee est le calcul de la dimension des composantes de Hitchin des groupes de Coxeter hyperboliques.

Soit G un groupe réductif réel ou p-adique. Pour décrire la topologie de l’espace des représentations irréductibles tempérées de G, la stratégie la plus classique est de passer par l’étude de la C*-algèbre réduite. Les composantes connexes du dual tempéré apparaissent comme les spectres de certains « blocs » dans cette C*-algèbre réduite, faisant intervenir les opérateurs d’entrelacement de Knapp-Stein. Pour les groupes réductifs réels, A. Wassermann a montré en 1987 que ces `blocs’ ont tous, à  Morita-équivalence près, une structure très belle et très simple qui encode les phénomènes de réductibilité des représentations induites. Cela lui permit de vérifier la conjecture de Baum-Connes-Kasparov pour ces groupes. Pour les groupes p-adiques, l’existence d’une structure analogue ne va pas du tout de soi. Elle a été établie, pour certains exemples de blocs simples de groupes simples, par R. Plymen et ses étudiants. Je présenterai un travail avec Anne-Marie Aubert qui (1) donne une condition nécessaire et suffisante, en termes des R-groupes de Knapp-Stein-Silberger, pour l’existence d’un théorème de structure `à  la Wassermann’, et (2) détermine explicitement les composantes qui vérifient cette condition pour les groupes symplectiques, orthogonaux ou unitaires sur un corps p-adique.

We show how, for certain Harish-Chandra modules, the polynomial giving the dimension of the Dirac index of the corresponding coherent family can be expressed as an integer linear combination of the coefficients of the characteristic cycle. This is joint work with S.Mehdi, D.Vogan and R.Zierau.

Pour toute paire duale réductive et irréductible (G, G’) dans Sp(W), R. Howe a démontré qu’il existait un isomorphisme entre les espaces R(G) et R(G’), o๠R(G) est l’ensemble des classes d’equivalences de representations irréductibles admissibles de tilde{G} pouvant se réaliser comme un quotient de la représentation métaplectique. Dans les années 2000, T. Przebinda a introduit l’intégrale de Cauchy-Harish-Chandra et conjecturé que le transfert des caractères dans la correspondance devrait être obtenu via cette intégrale. Si l’un des membres est compact ou si la paire duale (G, G’) est dans le « rang stable”, cette conjecture a été prouvée. Dans mon exposé, je vais m’intéresser au cas o๠G et G’ sont deux groupes unitaires de même rang, et prouver cette conjecture dans le cas o๠la representation de tilde{G} considérée est une série discrète.

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La quantification par déformation d’une théorie de champs se fait en deux étapes, d’abord pour une théorie libre à  partir de la structure de Poisson donnée par le crochet de Peierls associé au propagateur de Wightmann, ensuite pour la théorie en intéraction avec une ultérieur déformation associée au propagateur de Feynman, qui produit des ambiguités gérées par le groupe de renormalisation. Chaque étape de ce programme nécessite l’étude des fonctionnelles pouvant être déformées, compliquée par l’apparition de distributions singulières avec fronts d’ondes plus au moins adaptés aux opérations réquises. Les travaux en pAQFT dans les années 1990 et 2000 décrivent ces étapes de façon rigoureuse et complète (cf. K. Fredenhagen, M. Duetsch, R. Brunetti, S. Hollands, R.M. Wald, K. Rejzner, C. Brouder, N.V. Dang, Y. Dabrowski, etc). Avec C. Brouder, B. Fauser et R. Oeckl, nous avons montré en 2004 que si on se restreint à  des fonctionnelles régulières (et on oublie donc les problèmes analytiques), ces déformations coincident avec celles purement algébriques d’une structure de Hopf-comodule sur les fonctionnels, obtenues à  l’aide de deux couplages de Laplace définis par les propagateurs (et qui remplecent donc les crochets de Poisson dans le cadre des déformations d’algèbres de Hopf à  la Drinfeld ou à  la Majid). Les premiers résultats étaient complètement formels, et ils ont été précisés au sens géometrique par R. Borcherds en 2011, et complétés au sens algébrique et analytique par E. Herscovich en 2017. Dans cet exposé, je présente les grandes lignes de ce point de vue.

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We consider Lie groups $G$ endowed with a pair of anticommuting left-invariant abelian complex structures $(J_1,J_2)$ and a left-invariant, possibly indefinite, metric $g$ such that $(G,J_1,J_2,g)$ results to be a hyperkähler manifold. We study the algebraic structure and geometric properties of such Lie groups with an abelian hyperkähler structure. It results that such groups are always 3-step nilpotent and there is a correspondence between the associated hyperkähler Lie algebras and certain triples $(V,Omega, J_s)$ defined for a complex (associative) commutative algebra $V$ such that $V^3={0}$. This correspondence allows us to compute the Riemannian curvature of the pseudo-metric, describe the holonomy algebra and show that hyperkähler Lie groups with abelian complex structures are complete and locally symmetric. This clearly implies that every simply-connected Lie group endowed with an abelian hyperkähler structure is actually a symmetric space. In constrast to the definite case, there exist non-flat examples of abelian hyperkähler Lie groups; they cannot be 2-step nilpotent and their dimension is always equal to or greater than 16. Moreover, using the triple description, we classify up to Lie algebra isomorphism all Lie algebras $g$ admitting an abelian hyperkähler structure for $dimgle 12$. Some remarks on their classification up to triholomorphic symplectomorphism will also be mentioned. [BS_HK] I. Bajo, E. Sanmart'{i}n, « Indefinite hyperkähler metrics on Lie groups with abelian complex structures », 2019, to appear in Transformation Groups.

Let (X=G/K) be a noncompact complex Grassmann manifold of rank (r). Let (tau_l) be a character of (K), and (Ktimes_M{C}) the homogeneous line bundle associated with (tau_{l_{mid M}}). We give an image characterization for the Poisson transform (P_{lambda,l}) of (L^2)-sections of (Ktimes_M{C}). More precisely, for real and regular spectral parameter (lambda) in (mathfrak{a}^ast) we prove that (P_{lambda,l}) is an isomorphism from (L^2(Ktimes_M{C})) onto a space of joint eigensections (F) of the algebra of (G)-invariant differential operators on (Gtimes_K{C}) that satisfy (displaystylesup_{R>1}frac{1}{R^r}int_{B(R)}mid F(g)mid^2, {rm d}g<infty.) This generalizes a conjecture by Strichartz which corresponds to (tau_l) trivial.\

www.iecl.univ-lorraine.fr/~Khalid.Koufany/SL2R2020/programme.html

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Le but de cet exposé est d’introduire une classe indice pour les opérateurs longitudinaux G-transversalement elliptiques. Je commencerai par rappeler la définition de l’indice d’un opérateur elliptique G-invariant sur une variété compacte et le théorème de l’indice d’Atiyah-Singer. Ensuite j’introduirai la définition de la classe indice pour un opérateur G-transversalement elliptique introduite par Atiyah et celle pour les familles d’opérateurs G-transversalement elliptiques introduite dans ma thèse. Je discuterai dans le même temps les différents axiomes vérifiés par ces classes indices. Je terminerai avec les derniers résultats obtenus en collaboration avec Moulay Benameur, dans le cadre des feuilletages.