Les populations composées de deux types d’individus (ou phénotypes) peuvent naturellement s’étudier grâce aux marches aléatoires planaires. Dans cet exposé je ferai un survol des techniques existantes et présenterai également de nouvelles idées pour l’étude de telles populations bidimensionnelles. Nous commencerons par le cas des populations homogènes, qui correspondent à  des modèles maintenant classiques de marches aléatoires dans le quart de plan. Nous présenterons ensuite une classe de marches aléatoires inhomogènes ayant une interprétation biologique naturelle. En passant nous lierons ces marches aléatoires inhomogènes avec d’autres processus, provenant de la théorie des files d’attente (joindre la file la plus courte), de processus de branchement, de modèles d’urnes et de théorie du potentiel. Il s’agit de différents travaux en commun avec Gerold Alsmeyer (Mà¼nster), Irina Kurkova (Paris 6), Pauline Lafitte (ECP) et Chi Tran (Lille).

Un défaut habituel des algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov
est leur difficulté à  explorer l’espace convenablement, ce qui mène
à  de grandes erreurs d’estimation. L’algorithme de « métadynamique »,
introduit par Bussi, Laio et Parrinello dans les années 2000 illustre l’une des stratégies possibles pour contourner la difficulté, en gardant la mémoire de la trajectoire passée et en l’utilisant pour biaiser le processus et le pousser vers des régions peu visitées.
L’analyse des processus sous-jacent n’est pas aisée en général ; nous discuterons d’un modèle jouet, que l’on peut traiter par des outils de la littérature des processus auto-répulsifs.

Travail en commun avec B. Jourdain et T. Lelièvre (Ecole des Ponts ParisTech).

On essaye d’étudier une classe d’algorithmes du type Monte Carlo Tree Search pour des jeux
déterministes à  trait alterné et information complète (du type morpion, puissance 4, etc.).

In these two presentations, we will first introduce using basic stochastic calculus, the parametrx method and then show how to deduce an unbiased simulation method and its interpretations.

We will discuss its advantages and shortcomings and then discuss how to solve them.
using a second
order method.
We will also give some simulation results and then time allowing we will discuss some other extensions.

Les processus de branchement avec immigration (CBI) est une classe bien étudiée en probabilité. En particulier, les travaux de Dawson et Li ont fourni une écriture
explicite d’une EDS pour un CBI général et prouvé l’unicité de sa solution.
Nous exploitons cette écriture pour proposer une extension du modèle CIR pour inclure une partie à  sauts dans le mécanisme de branchement. Nous considérons en particulier le cas alpha-stable à  cause de sa parcimonie et pour sa cohérence avec des résultats statistiques.
Nous montrons que ce modèle, appliqué aux taux d’intérêt, permet d’expliquer plusieurs effets
connus sur les marchés obligataires comme la persistance des taux faibles malgré la présence des grands sauts.
Une deuxième application est l’extension du modèle Heston pour inclure des sauts auto-excités dans le processus variance. Nous étudions en particulier le comportement de la volatilité implicite sur l’action et sur ses variance swap. Nous testons ce modèle sur les donnes du VIX en montrant que notre modèle fit bien.
Basé sur deux travaux avec Ying Jiao, Chunhua Ma et Chao Zhou.

Nous considérerons des matrices de Wishart en grande dimension, dont les coefficients sont des gaussiennes possiblement corrélées. Dans la situation « mémoire courte », nous analyserons la proximité en loi de ces matrices avec l’ensemble gaussien correspondant quand la taille de la matrice tend vers l’infini, au sens de la distance de Wasserstein. Dans la situation « mémoire longue », la situation est tout autre: nous mettrons en évidence la convergence vers une matrice aléatoire, que nous avons appelée matrice de Rosenblatt-Wishart. Cet exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Guangqu Zheng (Univ. Luxembourg).

Si on part du réseau carré et efface chaque sommet indépendamment avec une certaine probabilité q, on effectue ce qui s’appelle une percolation de Bernoulli : cet important modèle de mécanique statistique rend compte des phénomènes d’infiltration en milieu poreux. Si on part du réseau carré mais cette fois-ci efface chaque sommet $(x,y)$ tel que $PGCD(x,y)neq 1$, on obtient maintenant un objet déterministe de nature arithmétique. Est-il possible de former une percolation (véritablement aléatoire donc) riche en informations arithmétiques ?

On va voir que cela est effectivement possible : on peut définir à  quoi ressemble le sous-graphe arithmétique précédent « vu depuis un point tiré uniformément dans le plan ». Ce sous-graphe aléatoire est obtenu selon un « crible d’Ératosthène aléatoire ». On fournira de ce graphe aléatoire une définition élémentaire, puis utilisera le lemme chinois pour faire le pont entre le sous-graphe arithmétique déterministe et sa contrepartie aléatoire. On abordera ensuite brièvement quelques problèmes naturels, comme l’étude des composantes connexes infinies du graphe aléatoire.

The mean-field game (MFG) consists in a differential game of a very large population on a finite or infinite time horizon. In this work, we study the mean-field games with branching, which allows to model the immigration, default and reproduction behaviour in the population. We show how the branching feature would change the formulation of the problem and then provide a general existence result of this new MFG. This is a joint work with Julien Claisse and Zhenjie Ren

Many application domains such as ecology or genomics have to deal with multivariate count data. A typical example is the joint observation of the respective abundances of a set of species in a series of sites, aiming to understand the co-variations between these species. The Gaussian setting provides a canonical way to model such dependencies, but does not apply in general. We adopt here the Poisson lognormal (PLN) model, which is attractive since it allows one to describe multivariate count data with a Poisson distribution as the emission law, while all the dependencies is kept in an hidden friendly multivariate Gaussian layer. While usual maximum likelihood based inference raises some issues in PLN, we show how to circumvent this issue by means of a variational algorithm for which gradient descent easily applies. We then derive several variants of our algorithm to apply PLN to PCA, LDA and sparse covariance inference on multivariate count data. We illustrate our method on microbial ecology datasets, and show the importance of accounting for covariate effects to better understand interactions between species.

We will present some financial and economic problematics arising in discrete-time financial/economic models with a finite time horizon under non-dominated model uncertainty. This means that there exists a set of probability measures representing the agent beliefs and that this set is not dominated by a reference measure.

The technics are based on dynamic programming and measurable selection. We also use analytic sets which display the nice property of being stable by projection or countable unions and intersections but fail to be stable by complementation.

Dans le contexte du calcul d’Itô, il existe plusieurs façons de contraindre la solution d’une équations différentielle dirigée par le mouvement brownien à  rester dans un convexe fermé de l’espace : problème de réflexion de Skorokhod, condition d’invariance, singularités du champs de vecteurs avec force de rappel etc. Le but de cet exposé est de présenter des extensions de ces méthodes aux équations différentielles dirigées par le mouvement brownien fractionnaire, dans le contexte de la théorie des trajectoires rugueuses.

On proposera dans cet exposé une approche probabiliste de reconstruction de généalogies dans les populations végétales polyploïdes (o๠les chromosomes ne vont pas nécessairement par paires). On présentera dans un premier temps une reconstruction dans une population de genêts diploïdes pour lesquels on dispose de la présence/absence de certains allèles spécifiques : la loi de probabilité du modèle s’appuie sur l’équilibre de Hardy-Weinberg. Dans un second temps, on généralisera cela à  une population de rosiers polyploïdes, dont le niveau de ploïdie varie de 2x à  6x (avec une majorité de 4x). Dans un tel modèle, les lois de reproduction sont soumises à  des règles combinatoires et à  la problématique du dosage allélique (par exemple un hétérozygote 4x peut donner lieu à  de nombreux génotypes : ‘aaab’, ‘aabb’, ‘abbb’, ‘aabc’, ‘abbc’, …, ‘abcd’). Notre modèle tient compte de ces phénomènes et propose une arborescence probabilisée des liens génétiques potentiels dans la population.

In Monte-Carlo Tree Search (MCTS), the goal is to adaptively
explore paths in a game tree and perform random leaves evaluation, in
order to quickly discover the best action to take at the root. In this
talk, I will introduce a simple model for MCTS, that can be viewed as a
structured best arm identification problem in a multi-armed bandit
model. After a review of recent advances to tackle the standard best arm
identification (BAI) problem, I will explain how any BAI algorithm can
be converted to a MCTS algorithm. I will then present empirical results
and sample complexity guarantees for two particular algorithms,
UGapE-MCTS and LUCB-MCTS.

This is joint work with Aurélien Garivier (Université de Toulouse) and
Wouter Koolen (CWI, Amsterdam)

La médiane géométrique est souvent utilisée en statistique du fait de sa robustesse. On s’intéresse donc à  des estimateurs rapides de la médiane, qui consistent en des algorithmes de gradient stochastiques moyennés. On définit aussi un nouvel indicateur de dispersion robuste, appelé Matrice de Covariance Médiane, avant d’en donner des estimateurs récursifs. Cette matrice, sous certaines hypothèses, a les mêmes sous-espaces propres que la matrice de covariance, mais est moins sensible aux données atypiques, et est donc très intéressante pour l’Analyse en Composantes Principales Robuste. Travail joint avec Hervé Cardot et Peggy Cénac (Université de Bourgogne).

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Irène Marcovici.

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) de mémoire 2 est un algorithme stochastique qui transforme 2 mots bi-infinis $a = eta_0 = (a_i)_{i in Z}$ et $b = eta_1 = (b_i)_{i in Z}$ en un troisième $c = eta_3 = (c_i)_{i in Z}$ de tel sorte que la loi de la lettre $c_i$ ne dépend que des lettres $(b_i,a_{i+1},b_{i+1})$. Les lettres $c_i$ sont choisies de manière synchrone et indépendante. Après avoir obtenu le mot $c$, on peut ré-appliquer l’ACP en prenant en entrée les mots $(b,c)$ et ainsi de suite. On obtient alors une suite de mots $(eta_t)_{t > 0}$ dont les lettres $(eta_t(i))$ forme ce que l’on appelle le diagramme espace-temps.

Ces ACP de mémoire 2 ont été initialement définis pour étudier le modèle à  8 sommets et nous verrons qu’ils sont également liés à  d’autres modèles de la physique statistique comme, par exemple, un nouveau modèle de TASEP synchrone ou le modèle d’Eden dans le demi-plan sur le réseau triangulaire.

Dans cet exposé, nous étudierons les lois invariantes de ces ACP, l’ergodicité de ces derniers, ainsi que les propriétés d’invariance de leur diagramme espace-temps. Ce sont des problèmes insolubles dans le cas général (y compris pour les ACP à  mémoire 1) et pour cela nous verrons que nous devons restreindre l’étude à  des cas o๠la loi invariante est de type mesure produit ou de type Markov.

S’il nous reste un peu de temps à  la fin, nous verrons comme les méthodes employées dans cet exposé permettent de déduire rapidement des propriétés sur un modèle de TASEP synchrone
généralisé.

We study the simultaneous domain selection problem for varying coefficient models as a functional regression model for longitudinal data with many covariates. The domain selection problem in functional regression mostly appears under the functional linear regression with scalar response but there is no direct correspondence to functional response models with many covariates. We reformulate the problem as nonparametric function estimation under the notation of « functional sparsity ». Sparsity is the recurrent theme that encapsulates interpretability in the face of regression with multiple inputs, and the problem of sparse estimation is well understood in the parametric setting as variable selection. For nonparametric models, interpretability not only concerns the number of covariates involved but also the {em functional form} of the estimates, and so the sparsity consideration is much more complex. To distinguish the types of sparsity in nonparametric models, we call the former « global sparsity » and the latter « local sparsity », which constitute functional sparsity. Most existing methods focus on directly extending the framework of parametric sparsity for linear models to nonparametric function estimation to address one or the other, but not both. We develop a penalized estimation procedure that simultaneously addresses both types of sparsity in a unified framework. We establish asymptotic properties of estimation consistency and sparsistency of the proposed method. Our method is illustrated in simulation study and real data analysis, and is shown to outperform the existing methods in identifying both local sparsity and global sparsity.

[this is a joint work with Catherine Y. Tu and Haonan Wang from Colorado State University, U.S.A.]

Nous considérons, sur le plan, la DSF (Directed Spanning Forest) qui est une forêt dirigée introduite par Baccelli et Bordenave (2007). Soient un processus de Poisson homogène dans le plan et une direction privilégiée (par exemple -e_y). Nous définissons l’ancêtre de chaque atome du processus de Poisson comme étant l’atome le plus proche (pour la distance euclidienne) et d’ordonnée supérieure. Le graphe résultant est la DSF : il s’agit d’une forêt, et même presque sà»rement d’un arbre. Sous de bonnes renormalisations, nous montrons que cette forêt converge en loi vers la toile Brownienne (BW, comme Brownian Web). Dans le cas de la DSF, la difficulté majeure est que la construction, pourtant simple et naturelle, crée des dépendances géométriques très complexes : au fur et à  mesure de la construction du graphe, on accumule une information sur la vacuité de certaines régions (aléatoires) du plan. Les critères de convergence existant dans la littérature s’appuient sur des estimées obtenues en général par la construction de martingales ou chaînes de Markov, constructions qui sont impossibles ici. L’obtention de ces estimées clé s’appuie sur des idées de renouvellement fondées sur la géométrie du problème.

Ceci est un travail en commun avec D. Coupier, K. Saha et A. Sarkar.

The cosmic web is a highly complex geometrical pattern, with galaxy clusters at the intersection of filaments and filaments at the intersection of walls. Using observational data, we can visually recognize the main components of the cosmic web: voids, filaments and (super)clusters. However, to classify the cosmic web using mathematical methods is much more complicated task, which also involves the analysis of observational selection effects. In my talk I will give a brief overview about the observed large-scale structure together with the main selection effects that should be taken into account while analyzing the data.