Dans une population homogène, le nombre de reproduction de base, noté R₀, est défini comme le nombre moyen de cas directement générés par une personne contagieuse quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Ce nombre joue un rôle fondamental en épidémiologie puiqu’il constitue un seuil qui détermine si l’épidémie va finir par disparaître (cas R₀ ≤ 1) ou, au contraire, devenir endémique (cas R₀ > 1).
Imaginons désormais qu’une proportion 1 − 1/R₀ de la population est immunisée (en étant vaccinée par exemple). Le nombre moyen d’individus qu’infecte la personne contagieuse est alors divisé par R₀. On en déduit que le nouveau nombre de reproduction, qualifié d’effectif dans ce cas, est égal à 1 : l’épidémie finira par disparaître grâce au phénomène d’immunité grégaire. Le nombre 1 − 1/R₀, appelé seuil d’immunité de groupe, est souvent utilisé pour evaluer l’efficacité d’une politique de vaccination par les autorités sanitaires.
Quand les contacts dans la population ne sont plus homogènes, le nombre de reproduction de base est défini comme le nombre de cas directement générés par une personne infectée typique quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Le seuil d’immunité collective 1 − 1/R₀ reste encore valide quand on vaccine la population uniformément. Il est cependant naturel de se demander si l’on ne pourrait pas abaisser ce seuil en ciblant certains groupes dans la population.
L’objectif de cette présentation est de proposer une formalisation mathématique de ce problème. Pour modéliser les contacts dans la population, j’utiliserai des objets issus de la théorie des limites des grands graphes. Dans la première partie de l’exposé, je présenterai un modèle hétérogène de type SIS (Susceptible → Infecté → Susceptible) avec vaccination que nous avons introduit récemment. Ce modèle servira de base pour définir les stratégies optimales de vaccination, montrer leur existence et étudier leurs propriétés de stabilité. Enfin, je donnerai une série d’exemples où les solutions du problème de vaccination optimale peuvent être exprimées de manière analytique.

→ Version PDF avec références

La percolation consiste à partir d’un graphe raisonnable G, d’un paramètre p dans [0,1] et à conserver chaque arête indépendamment avec probabilité p, effaçant toutes les autres. On s’intéresse alors aux composantes connexes du graphe ainsi formé (ces composantes sont appelées amas ou clusters). Par exemple, existe-t-il un cluster infini ?

Il existe un paramètre critique p_c, qui dépend du graphe, tel que :
– pour tout p < p_c, il n’y ait presque sûrement aucun cluster infini,
– pour tout p > p_c, il existe presque sûrement (au moins) un cluster infini.

Le régime sous-critique (p < p_c) est bien compris, et ce pour des graphes généraux. Le régime critique (p = p_c) est considérablement plus difficile : il fait l’objet de grands théorèmes et conjectures. C’est au régime restant, le surcritique (p > p_c), que sera dédié cet exposé. Ce régime est plus difficile que le sous-critique mais moins ardu que le régime critique.

Contrairement au régime sous-critique, le régime surcritique est, en un certain sens qu’on précisera, sensible à la géométrie du graphe de départ. Il est donc raisonnable de se restreindre à certaines classes de graphes définies par des hypothèses géométriques. On verra qu’en se restreignant aux graphes dits « à croissance polynomiale », il est possible d’obtenir une compréhension fine du régime surcritique. Cela permet de retrouver par des techniques nouvelles des résultats déjà connus sur le réseau cubique (Grimmett–Marstrand…), ainsi que de couvrir toute une gamme de graphes intéressants (discrétisations anisotropes de Z^d, graphes de Cayley de groupes nilpotents).

Cet exposé porte sur des travaux réalisés en collaboration avec Daniel Contreras et Vincent Tassion.

Ces dernières années, les méthodes de reconstruction avec a priori de parcimonie (LASSO, Basis Pursuit), très utilisées en statistiques comme en traitement d’images, ont été adaptées pour opérer sur un domaine continu (Beurling Minimal extrapolation, Beurling-LASSO…): on reconstruit alors une somme de masses de Dirac plutôt qu’un vecteur parcimonieux.
Le fait de travailler sur un domaine continu apporte de nombreux avantages: absence de grille de reconstruction et des artefacts de discrétisation associés, analyse plus simple, et algorithmes tirant parti de la structure lisse du problème.

Dans cet exposé, nous nous proposons d’étendre cette démarche à la reconstruction d’objets plus complexes: plutôt que des sources ponctuelles, on veut reconstruire des images constantes par morceaux à l’aide de la régularisation par variation totale du gradient (comme dans les travaux de Rudin, Osher et Fatemi).
Nous montrons qu’en étudiant la boule unité associée, on peut décrire la structure des minimiseurs et définir un algorithme de type Frank-Wolfe « sans grille » pour la résolution du problème.
L’avantage d’une telle méthode est la préservation des bords et l’isotropie des solutions.

Il s’agit d’un travail commun avec Romain Petit et Yohann De Castro.

Accurate spatiotemporal modeling of conditions leading to moderate and large wildfires provides better understanding of mechanisms driving fire-prone ecosystems and improves risk management. We here develop a joint model for the occurrence intensity and the wildfire size distribution by combining extreme-value theory and point processes within a novel Bayesian hierarchical model, and use it to study daily summer wildfire data for the French Mediterranean basin during 1995-2018. The occurrence component models wildfire ignitions as a spatiotemporal log-Gaussian Cox process. Burnt areas are numerical marks attached to points and are considered as extreme if they exceed a high threshold. The size component is a two-component mixture varying in space and time that jointly models moderate and extreme fires. We capture non-linear influence of covariates (Fire Weather Index, forest cover) through component-specific smooth functions, which may vary with season. We propose estimating shared random effects between model components to reveal and interpret common drivers of different aspects of wildfire activity. This leads to increased parsimony and reduced estimation uncertainty with better predictions. Fast approximate (but accurate) Bayesian estimation is carried out in the framework of the integrated nested Laplace approximation. Our methodology provides a holistic approach to explaining and predicting the drivers of wildfire activity and associated uncertainties.

This talk aims to incorporate two subjects for developing a framework for studying the long-time behavior solution of singular delay equations. Singular delay equations fail to induce the flow property. Accordingly, for a long time, many people have believed it is not possible to apply the idea of random dynamical systems to this family of equations.
In this talk, we claim, is possible. The main trick is to regard the solution in the language of the Rough path and then construct the flow property in a bundle-like family of Banach spaces. The main challenge here is to prove the Multiplicative Ergodic Throem in this new framework. After proving this crucial theorem, we can generate the Lyapunov exponents. These exponents can be regarded as a generalization of eigenvalues. We then apply these theorems to prove the invariant manifolds in our setting. The main tools here are the rough path theory and random dynamical systems.
This talk is based on my doctoral thesis. I recently have defended my thesis in February.

Dans cet exposé, on présentera les outils des structures de régularité pour traiter les EDP stochastiques singulières qui ne sont pas invariantes par translation. On décrira en particulier l’équation renormalisée pour une très large classe de schémas de renormalisation dépendant de l’espace-temps. Cette approche est basée sur des renormalisations locales qui agissent directement au niveau de l’équation. L’exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Ismaël Bailleul.

Le modèle IDLA (Internal Diffusion Limited Aggregation) est un modèle de croissance aléatoire sur la grille Z^d introduit dans les années 90 et permettant de modéliser l’évolution d’un bassin de culture de cellules, la croissance de zones urbaines ou encore la propagation d’un fluide visqueux. C’est une suite d’ensembles aléatoires (A_n)_n définie comme suit : A₀ = {0} et, étant donné A_n, on lance une marche aléatoire simple depuis l’origine de Z^d. Le sommet z par lequel la marche sort de l’agrégat A_n est ajouté pour obtenir A_n+1 : A_n+1 = A_n U {z}. Un arbre aléatoire se cache derrière la suite des agrégats (A_n)_n… Afin d’étudier la géométrie de cet arbre, nous avons défini en 2020 un graphe aléatoire auxiliaire, baptisé la forêt dirigée IDLA. Ce nouvel objet possède d’intéressantes propriétés et des conjectures excitantes qui seront abordées dans cet exposé. Travail en collaboration avec N. Chenavier (ULCO) et A. Rousselle (Dijon)

With the emergence of numerical sensors in many aspects of every-day life, there is an increasing need in analyzing high frequency data, which can be seen as discrete observation of functional data.
The presentation will focus on the clustering of such functional data, in order to ease their modeling and understanding. To this end, a novel clustering technique for multivariate functional data is presented.
This method is based on a functional latent mixture model which fits the data in group-specific functional subspaces through a multivariate functional principal component analysis.
In such clustering analysis, the presence of outliers can confuse the notion of cluster.
Consequently, a contaminated version of the previous mixture model is proposed. This model both clusters the multivariate functional data into homogeneous groups and detects outliers. The main advantage of this procedure over its competitors is that it does not require us to specify the proportion of outliers.
Model inference is performed through an Expectation-Conditional Maximization algorithm, and the BIC criterion is used to select the number of clusters. Numerical experiments on simulated data demonstrate the high performance achieved by the inference algorithm. In particular, the proposed model outperforms competitors. Its application on the real data which motivated this study allows us to correctly detect abnormal behaviors.

L’un des principes de l’analyse topologique des données est d’étudier un ensemble de données, représentées sous forme d’un nuage de points, à partir d’outils topologiques. Un concept de base est celui de l’homologie persistante. Cette dernière mesure les naissances et les morts de diverses caractéristiques topologiques, telles que les boucles et les cavités, lorsque l’on fait grossir des boules en chaque point d’un processus de Poisson (on parle de modèle Booléen). Dans cet exposé, nous nous intéressons aux durées de vie extrémales pour de telles caractéristiques. Nous étudions d’abord le cas particulier des cavités et donnons l’ordre de grandeur du maximum (resp. du minimum) de leurs durées de vie. Une approximation poissonienne du nombre d’excédents est également établie. Nous étendons ensuite l’étude à des caractéristiques quelconques pour les complexes simpliciaux de Cech et de Vietoris-Rips. Travail joint avec C. Hirsch.

Je présenterai dans cet exposé des résultats nouveaux sur l’existence et l’unicité de solution pour des EDSRs réfléchies dans des domaines non convexes supposés « faiblement étoilés ». Notons que le cas particulier des EDSRs de générateur nul, à savoir l’espérance conditionnelle pour la filtration brownienne, est déjà un cas d’étude intéressant et permet de définir une notion de moyenne contrainte à prendre ses valeurs dans un ensemble non convexe. En particulier, on établit des résultats d’existence et d’unicité dans un cadre markovien avec une condition terminale et un générateur réguliers, mais également dans un cadre général sous une hypothèse de petitesse sur les paramètres de l’EDSR. C’est un travail en commun avec Jean-François Chassagneux (Université de Paris) et Sergey Nadtochiy (Illinois Institute of Technology).

Reinforced processes are known to provide a stochastic approximation for the quasi-stationary distributions of killed Markov processes. We show how the construction may be adapted to provide a stochastic approximation of the paths of killed Markov processes conditioned on survival. Whilst rigorous results are restricted to time being discrete and the state space finite, the strategy employed should be extendable to a general setting in the future.

Existence and uniqueness of solutions to the stochastic heat equation with multiplicative spatial noise is studied. In the spirit of pathwise regularization by noise, we show that a perturbation by a sufficiently irregular continuous path establish wellposedness of such equations, even when the drift and diffusion coefficients are given as generalized functions or distributions. In addition we prove regularity of the averaged field associated to a Lévy fractional stable motion, and use this as an example of a perturbation regularizing the multiplicative stochastic heat equation.

Joint work With Fabian Harang

Dans cet exposé je présenterai un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli où nous étudions le modèle FA1f en dimension 1. Il s’agit d’un système de particules en interaction (plus précisément un modèle issu de la physique statistique dit modèle cinétiquement contraint où chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite, ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins). Dans ce travail, nous prouvons, sous certaines conditions, une vitesse linéaire, et des fluctuations gaussiennes, pour le front (i.e. le 0 le plus à gauche lorsque l’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine). Ce talk sera l’occasion de présenter les techniques classiques utilisées dans les modèles de croissance aléatoire tels que le processus de contact et de parler de méthode de couplage permettant de passer d’un modèle bien connu a un modèle plus complexe (en particulier non attractif).

Point-cloud datasets are ubiquitous in many science and non-science fields. These data are usually coming along with unique patterns that some algorithms are meant to extract and that are linked with the underlying phenomenon that generated the data.
In this presentation, motivated by cosmological problematics, we will focus on two kinds of spatially structured datasets. First, clustered-type patterns in which the datapoints are separated in the input space into multiple groups. We will show that the unsupervised clustering procedure performed with a Gaussian Mixture Model can be formulated in terms of a statistical physics optimisation problem. This formulation enables the unsupervised extraction of many key information about the dataset itself, like the number of clusters, their size and how they are embedded in space, particularly interesting for high-dimensional input spaces where visualisation is not possible.
On the other hand, we will study spatially continuous datasets assuming as standing on an underlying 1D structure that we aim to learn. To this end, we resort to a regularisation of the Gaussian Mixture Model in which a spatial graph is used as a prior to approximate the underlying 1D structure. The overall graph is efficiently learnt by means of the Expectation-Maximisation algorithm with guaranteed convergence and comes together with the learning of the local width of the structure. We then illustrate applications of the algorithm to model and identify the filamentary pattern drawn by the galaxy distribution of the Universe in cosmological datasets.

In this talk, we will discuss some results on the estimation of the invariant density associated to a multivariate diffusion X = (X_t)_t≥0, assuming that a continuous record of observations (X_t)_0≤t≤T is available. We will see that, when X = (X_t)_t≥0 is the solution of a stochastic differential equation with Levy-type jumps, it is possible to find the parametric convergence rate 1/T in the monodimensional case and log(T)/T when the dimension d is equal to 2. For d ≥ 3 we find the convergence rate (log(T)/T)^γ, where γ is an explicit exponent depending on the dimension d and on β₃, the harmonic mean of the smoothness of the invariant density over the d directions after having removed β₁ and β₂, which are the smallest. Moreover, we obtain a lower bound on the L²-risk for pointwise estimation, with the rate (1/T)^γ. In order to fill the logarithmic gap we consider then X = (X_t)_t≥0 as a solution to a continuous stochastic differential equation. One (surprising) finding is that the convergence rate depends on the fact that β₂ < β₃ or β₂ = β₃. In particular, we show that kernel density estimators achieve the rate (log(T)/T)^γ in the first case and (1/T)^γ in the second. Finally, we prove a minimax lower bound on the L²-risk for the pointwise estimation with the same rates (log(T)/T)^γ or (1/T)^γ, depending on the value of β₂ and β₃.

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.

Dans cet exposé, on construit, pour tout automate cellulaire probabiliste uni-dimensionnel exponentiellement ergodique et possédant une propriété de taux positifs, un flot CFTP (« coupling from the past ») localement défini. Plusieurs conséquences de cette construction sont discutées. (Travail exposé dans l’article arXiv:2106.07219).

Je montre comment à partir d’une étude approfondie statistique et probabiliste d’une base de données de températures moyennes mondiales, j’ai découvert des comportements climatologiques sans doute très difficilement accessibles par les techniques usuelles utilisées en climatologie.

In a recent paper, Leonid Petrov showed that the up-down chains associated to the Chinese Restaurant Process (CRP) have a scaling limit – namely, a two-parameter family of diffusions that extend the one-parameter infinitely-many-neutral-alleles diffusions of Ethier and Kurtz. There has since been considerable interest in constructing ordered analogues of Petrov’s diffusions, and it is conjectured that an ordered analogue of the up-down chains will give rise to such an object. In this talk, I’ll discuss my resolution of this conjecture (joint with Douglas Rizzolo). Our approach is mainly inspired by Petrov’s work, and involves using quasisymmetric functions to describe the transition operators.

This presentation is a summary of my PhD work. I focus on the topic of hypothesis testing, extensively studied in statistics and theoretical computer science.

I start with presenting the classical identity testing problem, in which an independent sample set X ~ q is given and one would like to determine whether q=p for some fixed known p. This problem is very related to that of estimating a distribution from a given sample set. The study of testing is relevant, because for the same fixed sample size, it is possible to test against a distribution up to a smaller separation distance than what is possible in estimation. This will give me the opportunity to describe the minimax framework which proves the theoretical optimality of statistical methods in the worst case.

I will refine the study of minimax identity testing by adding a local differential privacy condition and the interest will be in the quantitative effect of ensuring privacy. The presentation will largely be on the topic of privacy, because it bears similarities with ensuring fairness conditions.

We will also shortly consider the neighboring problem of closeness testing, where the goal remains to determine whether p=q, but only an independent sample set Y ~ p is given instead of p directly. In this context, we will go beyond a simple worst-case analysis and develop instance optimal results instead. This will highlight the interplay between one-sample testing and two-sample testing, the latter being a harder problem.