Le temps de mélange d’une marche aléatoire sur un graphe est étroitement lié à  l’existence de « goulots d’étranglement » dans le graphe : intuitivement, plus il est difficile pour la marche de s’échapper de certains sous-ensembles, plus la marche met du temps à  mélanger. Plusieurs résultats montrent que, sur des graphes aléatoires qui sont presque sà»rement des expanseurs et donc n’ont typiquement pas de goulots d’étranglement (par exemple, sur des graphes réguliers uniformes), la marche aléatoire mélange non seulement vite mais de façon très abrupte (on dit qu’elle présente le phénomène de cutoff). Dans cet exposé, nous verrons que l’on peut aussi obtenir des résultats similaires sur des graphes qui ne sont typiquement pas des expanseurs. Nous considérerons des graphes aléatoires munis d’une structure à  deux communautés et montrerons qu’il existe un seuil pour la fraction d’arêtes inter-blocs autour duquel la marche bascule d’un régime de mélange rapide avec cutoff à  un régime de mélange lent sans cutoff.

On considère un système de N neurones, dont le potentiel de membrane évolue selon une dynamique de type interaction champ moyen. Plus précisément, pour chaque neurone, ce potentiel décroît à  taux constant, et d’autre part est mis à  zéro lorsque le neurone se décharge (émet un spike), ce qui entraîne également une augmentation du potentiel de tous les autres neurones. Les spike surviennent à  des temps aléatoires, à  un taux lamba(u) qui dépend du potentiel de membrane u. Quand lambda(u) est nul en 0 et dérivable alors, quelque soit N, le système s’arrête presque sà»rement en temps fini, c’est-à -dire qu’il n’y aura qu’un nombre fini de spike, suivi d’une décroissance déterministe du système vers 0. On verra que, sous certaine condition, le système est néanmoins métastable, au sens o๠les points suivants sont satisfaits : 1) le système non-linéaire limite (N->infini) converge vers un unique équilibre non nul ; 2) le temps d’extinction d’un système fini de N neurones est exponentiellement grand en fonction de N ; 3) le potentiel moyen du système s’approche rapidement d’une valeur positive constante, et les temps de sortie de voisinages de cette valeur convergent (quand N->infini) vers la loi exponentielle (caractère sans mémoire, imprévisible de ces déviations du comportement limite). Les démonstrations reposent sur des méthodes de couplage.

Dans cet exposé, nous intéressons à  des modèles simples de croissance de population. Chaque individu possède une durée de vie aléatoire, indépendante des durées de vie des autres individus, et dont la loi dépend uniquement de la date de naissance de l’individu. A sa mort ou durant son vivant mais de manière Poissonienne, chaque individu donne naissance à  de nouveaux individus. Pour ce modèle, nous étudierons ces processus avec deux outils différents : le processus de contour de l’arbre et la théorie des semi-groupes. La première approche permettra d’avoir la loi du nombre d’individus, divers résultats de conditionnement (comportement quasi-stationnaire, loi de l’arbre conditionné à  l’extinction ou la non-extinction etc.) ou des limites d’échelles. La deuxième approche permet de montrer une croissance exponentielle pour la taille de la population ainsi que la convergence du profil des âges. Nous finirons l’exposé avec quelques perspectives en statistiques.

Un processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec seuil est un processus d’autoregression à  temps continu. Il suit une dynamique d’Ornstein-Uhnlenbeck au dessus ou dessous d’un seuil fixé, pourtant à  ce seuil les coefficients peuvent être discontinus. Nous considérons l’estimation par (quasi)-maximum de vraisemblance des paramètres de dérive, à  partir d’observations à  temps continu ou discret. Dans le cas ergodique, nous montrons consistance et vitesse de convergence en temps long et haute fréquence pour ces estimateurs. En se basant sur ces résultats, nous développons un test heuristique pour la présence d’un seuil dans la dynamique et nous concluons avec une application à  short term US interest rates.
Ceci est un travail avec Paolo Pigato.

Cet exposé présentera une petite zoologie de chaînes de Markov à 
mémoire variable, avec des conditions d’existence et unicité de mesure
invariante. Il sera ensuite question de marches aléatoires
persistantes, construites à  partir de chaînes de Markov à  mémoire non
bornée, o๠les longueurs de sauts de la marche ne sont pas forcément
intégrables. Un critère de récurrence/transience s’exprimant en
fonction des paramètres du modèle sera énoncé. Suivront plusieurs
exemples illustrant le caractère instable du type de la marche
lorsqu’on perturbe légèrement les paramètres. Les travaux décrits dans
cet exposé sont le fruit de plusieurs collaboration avec B. Chauvin, F.
Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret et A.
Rousselle.

Les complexes simpliciaux sont les généralisations des graphes géométriques à  des relations non plus binaires mais aussi ternaires ou plus. Ce sont des objets très utilisés en analyse de données topologiques. Nous construisons sur ces objets une nouvelle marche aléatoire qui généralise la marche aléatoire canonique sur un graphe. Nous montrons que son générateur est intimemement au Laplacian du complexe simplicial, qui est une généralisation du Laplacien de graphe. Nous nous intéressons ensuite au processus limite quand la densité du nombre de points tend vers l’infini. Nous montrons comment utiliser cette marche pour localiser les trous de couverture dans un réseau radio.

We look at at a coupled system of stochastic differential equations that describe an infinite parametric family of genealogical skeletal decompositions of a general continuous state branching process (CSBP), supercritical, critical and subcritical. This puts into a common framework a number of known and new path decompositions of CSBPs, including those which involve continuum random trees, and allow us to connect the notion of Evans-O’Connell immortal particle decomposition to that of the skeletal decomposition. This is joint work with Dorka Fekete (Exeter) and Joaquin Fontbona (U. de Chile).

Dans cet exposé, nous présenterons de récents travaux effectués en collaboration avec F.Panloup et S.Tindel sur l’estimation paramétrique du terme de drift pour une EDS fractionnaire additive sous des hypothèses assurant l’ergodicité de l’EDS. La méthode d’estimation est en effet basée sur l’identification de la mesure invariante (à  définir dans ce cadre a priori non-markovien) pour laquelle nous construisons une approximation à  partir d’observations discrètes de l’EDS. Nous donnerons des résultats de consistance ainsi qu’une borne non asymptotique sur l’erreur quadratique moyenne.
Pour obtenir ce dernier résultat, nous détaillerons des résultats d’inégalités de concentration pour les EDS fractionnaires que nous avons développés dans de récents travaux.
Enfin, nous discuterons de l’hypothèse d’identifiabilité intrinsèquement liée à  la mesure invariante et nous donnerons quelques illustrations numériques.

Dans cet exposé, je présenterai des progrès récents dans l’approximation normale par la méthode de Stein et le calcul de Malliavin.
Nous rappelons tout d’abord l’inégalité de Poincaré de second ordre, une technique puissante qui donne des bornes d’erreur pour une approximation normale en termes de dérivées de Malliavin de second ordre.
Nous nous concentrons ensuite sur les cas o๠l’inégalité de Poincaré de second ordre ne s’applique pas. Cela pourrait être la conséquence d’un manque de régularité ou, dans certains cas, de la non-tractabilité des seconds dérivés.
Cet exposé est basé sur plusieurs travaux conjoints avec R. Lachièze-Rey, I. Nourdin, G. Peccati.

Considérons le processus de Langevin suramorti (Xt)t≥0 solution de l’équation
différentielle stochastique sur R^d
: dXt = −∇f(Xt)dt + racine(h)dBt.

C’est un processus prototypique utilisé pour modéliser l’évolution de systèmes
statistiques. La fonction f : R^d → R est le potentiel du système et h > 0 sa tem-
pérature. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de f sur de longues périodes de temps avant de s’en échapper. C’est une des raisons majeures qui rend inaccessi-
bles l’observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des tra-
jectoires de (Xt)t≥0. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années pour accélérer l’échantillonnage de dynamiques métastables (e.g. les
méthodes de Monte-Carlo cinétique et les accelerated dynamics algorithms introduits par A.F. Voter et al. à  Los Alamos). Ces algorithmes reposent sur des estimées précises de l’évènement de sortie d’un état macroscopique Ω ⊂ R
d à  basse température (h<<1) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à  l'aide de la célèbre loi d'Eyring-
Kramers (1935). Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées sig-
nificatives sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique Ω pour le processus de Langevin suramorti quand h << 1, ainsi que les nom-
breuses questions qui restent ouvertes.

In spatial dimension > 2, we consider the uniqueness problem for global solutions to the stochastic heat equation, discrete in space and continuous in time, with a small Gaussian noise. A similar problem in the continuous-space setting has been studied by Yuri Kifer. We will describe and motivate the following result: Up to a time-dependent random normalization, the global solution is unique in the class of positive functions of subexponential growth and decay in space. The talk is based on a project with Kostya Khanin and Beatriz Navarro Lameda.

Dans ce travail nous considérons, le problème de l’analyse statistique des modèles FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) induits par un bruit blanc non corrélé mais qui peut contenir des dépendances non linéaires très générales. Ces modèles sont appelés FARIMA faibles et permettent de modéliser des processus à  mémoire longue présentant des dynamiques non linéaires, de structures souvent non-identifiées, très générales. Relâcher l’hypothèse d’indépendance sur le terme d’erreur, une hypothèse habituellement imposée dans la littérature, permet aux modèles FARIMA faibles d’élargir considérablement leurs champs d’application en couvrant une large classe de processus à  mémoire longue non linéaires.

Nous établissons les procédures d’estimation et de validation des modèles FARIMA faibles. Nous montrons, sous des hypothèses faibles de régularités sur le bruit, que l’estimateur des moindres carrés des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est fortement convergent et asymptotiquement normal. La matrice de variance asymptotique de l’estimateur des moindres carrés des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est de la forme « sandwich ». Cette matrice peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort (i.e. dans le cas o๠le bruit est supposé iid). Nous proposons, par deux méthodes différentes, un estimateur convergent de cette matrice. Une méthode alternative basée sur une approche d’auto-normalisation est également proposée pour construire des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette technique nous permet de contourner le problème de l’estimation de la matrice de variance asymptotique de l’estimateur des moindres carrés.

Nous accordons ensuite une attention particulière au problème de la validation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Nous montrons que les autocorrélations résiduelles ont une distribution asymptotique normale de matrice de covariance différente de celle obtenue dans le cadre des FARIMA forts. Cela nous permet de déduire la loi asymptotique exacte des statistiques portmanteau et de proposer ainsi des versions modifiées des tests portmanteau standards de Box-Pierce et Ljung-Box. Il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un khi-deux lorsque le terme d’erreur est supposé iid. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de khi-deux. Elle peut être très différente de l’approximation khi-deux usuelle du cas fort. Nous adoptons la même approche d’auto-normalisation utilisée pour la construction des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA faibles pour tester l’adéquation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette méthode a l’avantage de contourner le problème de l’estimation de la matrice de variance asymptotique du vecteur joint de l’estimateur des moindres carrés et des autocovariances empiriques du bruit.

Après avoir introduit les U-statistiques à  deux échantillons,
nous présenterons
une version empirique de ces-dernières. Ceci permet de détecter un
potentiel changement de loi
dans un échantillon. Nous allons donner des conditions suffisantes pour
la convergence
des U-statistiques à  deux échantillons dans un espace fonctionnel
approprié ainsi qu’une description du processus limite.
Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Herold Dehling
(Ruhr-Universität Bochum) et Olimjon Sharipov (National University of
Uzbekistan)

Une mesure de Gibbs est une mesure de probabilité, sur l’espace des configurations, qui est définie en prescrivant ses lois conditionnelles. Ces lois conditionnelles admettent une densité, par rapport au processus ponctuel de Poisson homogène d’intensité z, de la forme exp ( – beta H ) avec H l’énergie de la configuration. Dans ce cadre une question naturelle est de savoir, pour chaque z et beta, s’il existe une ou plusieurs mesures ayant ces lois conditionnelles.

Dans un article récent en collaboration avec D. Dereudre (Lille) nous étudions le area-interaction model. Pour ce modèle il est conjecturé que la non-unicité a lieu si et seulement si z = beta grand.
Nous répondons partiellement à  cette conjecture en prouvant l’unicité ou la non-unicité pour tous les paramètres z, beta en dehors d’un compact.

Les outils utilisés sont, entre autre, de la percolation et une représentation FK du modèle.

La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case $(i,j)$, il faut que les cases $(i-1,j)$ et $(i,j-1)$ soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps aléatoire $tau_{(i,j)}$. Ce modèle est notemment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain.

Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas o๠le temps à  attendre $tau_{(i,j)}$ dépend des temps d’arrivée des cases $(i-1,j)$ et $(i,j-1)$ dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille $L$. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas.

L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front: sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne les sont a priori pas.

Dans ces travaux effectués en collaboration avec J.-F. Coeurjolly (UQAM, Montréal) et P.-O. Amblard (Gipsa-Lab, Grenoble), nous proposons d’estimer une intégrale à  partir de points de quadrature produits par un processus ponctuel déterminantal (DPPs), construits à  partir de noyaux de type Dirichlet. Sous l’hypothèse que l’intégrande appartient à  un certain espace de Sobolev de régularité s>1/2 (condition vérifiée par de nombreuses fonctions non-continument différentiable), l’estimateur ainsi construit satisfait alors un théorème central limite avec une variance explicite et une vitesse de convergence hyperuniforme. Grâce à  la structure de ces DPPs, il est également possible d’utiliser une même configuration de points et, via la projection de ces points, estimer des intégrales de fonctions définies sur des espaces de dimension inférieure, tout en conservant les résultats asymptotiques obtenus précédemment.

Le theoreme de Bakry-Emery indique que, sous une condition d’uniforme
convexité du potentiel, certaines mesures de probabilités vérifient une
inégalité de Poincaré, avec une constante meilleure que celle associée à 
la mesure gaussienne. De manière équivalente, ce résultat s’interprète
comme une borne sur les valeurs propres de certains opérateurs de
diffusion. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité : si
une telle mesure a une constante de Poincaré proche de celle de la
gaussienne, alors elle contient presque un facteur gaussien, avec des
bornes d’erreur explicites. La preuve repose sur une combinaison
d’arguments élémentaires de calcul des variations, et de la méthode de
Stein sur l’estimation de distances entre mesures de probabilités. Comme
application, on obtient des formes inverses de certaines inégalités de
concentration pour les mesures uniformément log-concaves. Travail en
collaboration avec Thomas Courtade.

Les modèles avec contraintes cinétiques constituent une classe de
modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les
physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles
de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe
est soit à  l’état 0, soit à  l’état 1, et ne peut changer d’état que si
une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du
sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes
possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de
sa contrainte. Une question très importante est donc celle de
l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre
fini de classes selon leur comportement ? Cette question a récemment été
résolue lorsque le graphe de base est Z2 pour une classe de modèles plus
simple, la percolation bootstrap, que l’on peut considérer comme une
version déterministe et monotone des modèles avec contraintes
cinétiques. Cependant, les modèles avec contraintes cinétiques
présentent un phénomène de barrière d’énergie qui peut rendre leur
comportement très différent de celui de la percolation bootstrap, et
nécessitent donc une classification d’universalité plus fine. Dans cet
exposé, on présentera une telle classification d’universalité pour les
modèles avec contraintes cinétiques.