Dans ce travail, nous nous intéressons à des observations associées à une localisation spatiale (généralement une position géographique) et nous cherchons à identifier des agrégats spatiaux, i.e. des zones où les observations ont un comportement atypique. Pour cela, nous utilisons des méthodes de balayage spatial.
Après avoir expliqué comment ces méthodes fonctionnent lorsque les observations sont réelles, nous introduisons des statistiques conçues spécifiquement pour le cas multivarié, puis pour le cas fonctionnel.
Ces méthodes sont appliquées sur des jeux de données environnementaux (concentration de métaux polluants) et socio-économiques (taux de chômage).

We consider the problem of estimating the Lévy density of a pure jump Lévy process, possibly of infinite variation, from the high frequency observation of one trajectory. To directly construct an estimator of the Lévy density, we use a compound Poisson approximation and we build a linear wavelet estimator. Its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\geq1$, over Besov balls. To show that the resulting rates are minimax-optimal for a large class of Lévy processes, we propose new non-asymptotic bounds of the cumulative distribution function of Lévy processes with Lévy density bounded from above by the density of an alpha-stable type Lévy process in a neighbourhood of the origin. It is a joint work with Céline Duval.

Nous nous intéressons au comportement en temps long des processus de Markov obtenus comme solutions optimales de problèmes d’optimisation stochastique, comme par exemple des problèmes de contrôle stochastique ou des problèmes de transport optimal stochastique. Dans ce contexte, le générateur du processus n’est pas connu en forme explicite et depend de la solution d’une EDP non linéaire, typiquement une équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman. Le but de cet exposé est d’expliquer comment on peut définir une notion de mesure invariante, qu’on appelle turnpike dans ce cadre, et d’illustrer les idées de base d’une technique par couplage qui permet d’obtenir des résultats de convergence exponentielle vers le turnpike. Dans un deuxième temps, la question der comment éteindre ces notions et résultats au contrôle McKean-Vlasov sera aussi abordée.

General Bayesian Networks (GBNs) extend Bayesian networks to the modeling of continuous links in the data.
I will demonstrate the implementation of the GBNs in the context of risk monitoring for Legionella infection from the use of reclaimed wastewater to irrigate agricultural plots.
I will also discuss the use of these networks to evaluate hypothetical scenarios of how failures of the system propagate in the model.

Hawkes process was introduced by Hawkes in 1971 and are widely used in many applications (earthquakes, neurons, social network, finance, etc.). This jump process has an intensity which depends on the past. Linear « self-exciting » Hawkes process has been particularly studied and some asymptotic results are well-known.
During my PhD, with Manon Costa and Patrick Cattiaux, I considered non-linear Hawkes processes, which can model self-inhibition and self-excitation. We proved asymptotic properties (law of large numbers, CLT, large deviations), by considering a new point of view for this process: the renewal structure of some Hawkes process leads to a comparison with cumulative processes.
In this talk, I’ll introduce Hawkes processes and cumulative processes. By exhibiting their link, I’ll give an idea of the approach we use to prove asymptotic properties.

During this talk, we will review some recent advances in the multiplicative coalescent theory and its link to random graphs. The multiplicative coalescent dynamic naturally emerges when one regards the evolution of the connected components in a graph-valued Markov process. We will mainly focus on the breadth-first walk introduced by V. Limic (2019), a Lévy-type process encoding a random forest whose components (trees) are a representation of the multiplicative coalescent. We will then focus on the extension of this construction to account for the surplus edges data, in addition to the spanning edge data. We will present two different graph representations of the multiplicative coalescent, with different advantages and drawbacks, that are discussed in detail. In particular, we will show how to recover a realization of the random graph at a fixed time, and also as a process when the time parameter evolves. We will also discuss the use of these results to understand the scaling limits of near-critical random graphs in the domain of attraction of general eternal multiplicative coalescent.

Les MAMEs sur des graphes sont les MAs qui maximisent l’entropie trajectoriellement. Leurs constructions nécessitent une connaissance globale du graphe dont le rayon spectral et vecteur propre positif associé. A contrario, les MA simples peuvent être vues comme celles maximisant l’entropie localement.

Ces MAs ont été introduites il y a une dizaine d’années par des physiciens et des informaticiens. Elles ont par exemple de meilleures propriétés diffusives dans les réseaux réguliers et de fortes propriétés de localisations dans les milieux irréguliers. Elles ont déjà trouvé de nombreuses applications dans le traitement d’images ou la prédiction de liens dans un graphe notamment.

Je présenterai quelques exemples, notamment des MAMEs sur des graphes infinis et des processus d’exclusions maximaux entropiques, et je parlerai de certaines limites d’échelles de ces processus (Bessel 3, Mouvement Brownien de Dyson…).

Dans cet exposé, on introduit une nouvelle classe de schémas numériques qui permettent des approximations de faible régularité du second moment de la solution d’une EDP dispersive avec des données initiales aléatoires. Cette quantité joue un rôle important en physique, en particulier dans l’étude de la turbulence des ondes où il faut adopter une approche statistique afin d’obtenir une compréhension approfondie du comportement générique à long terme des solutions aux équations dispersives. Nos schémas utilisent une discrétisation basée sur la résonance après avoir appliqué le théorème de Wick qui produit des diagrammes de Feynman. Pour écrire ces schémas, on introduit des forêts décorées appariées qui sont deux arbres décorés dont les décorations sur les feuilles viennent par paires. La construction du schéma s’inspire du traitement des équations aux dérivées partielles stochastiques singulières via les structures de régularité. Il s’agit d’un travail conjoint avec Yvonne Alama Bronsard et Katharina Schratz.

…ou « Combien de projections sous-gaussiennes doit-on faire pour reconstruire un objet parcimonieux dans un dictionnaire redondant ? »

This work investigates the problem of signal recovery from undersampled noisy sub-Gaussian measurements under the assumption of a synthesis-based sparsity model. Solving the l1-synthesis basis pursuit allows to simultaneously estimate a coefficient representation as well as the sought-for signal. However, due to linear dependencies within redundant dictionary atoms it might be impossible to identify a specific representation vector, although the actual signal is still successfully recovered. We study both estimation problems from a non-uniform, signal-dependent perspective. By utilizing results from linear inverse problems and convex geometry, we identify the sampling rate describing the phase transition of both formulations, and propose a « tight » estimated upper-bound.

This is a joint work with Maximilian März (TU Berlin), Jonas Kahn and Pierre Weiss (CNRS, Toulouse).

À partir d’une suite de mouvements browniens bilatères indépendants, Kiss et Solecki ont construit un continuum (un espace métrique connexe, compact et non vide) aléatoire. Ils ont montré que ce continuum est indécomposable p.s. Avec Nicolas Curien, nous avons montré qu’il n’est pas héréditairement indécomposable p.s., et que ce n’est donc pas le pseudo-arc.

Dans cet exposé, j’expliquerai l’ensemble des termes précédents, la construction de ce continuum aléatoire et je vous expliquerai pourquoi il est indécomposable, mais pas héréditairement indécomposable.

Je m’intéresserai à un modèle de partitions d’entiers aléatoires qui est une déformation à un paramètre de la très classique mesure de Plancherel du groupe symétrique. Cette déformation, qui a une définition combinatoire explicite, a sa source dans la théorie des nombres de Hurwitz, qui comptent certaines familles de cartes plongées sur des surfaces. La déformation que nous étudions intervient naturellement lorsque l’on s’intéresse à des nombres de Hurwitz (ou des cartes) de très grand genre, un problème qui se formule également dans le langage de la marche aléatoire sur le groupe des permutations engendré par les transpositions. Nous exhibons un phénomène de forme limite d’un type nouveau pour ces partitions, qui a des conséquences pour l’énumération des cartes et pour la marche. La démonstration utilise une méthode dite « entropique » qui mélange un peu de calcul des variations à beaucoup d’estimées combinatoires.
L’exposé sera introductif, sans pré-requis, avec de jolies images.
Travail en commun avec Baptiste Louf et Harriet Walsh.

This project has received funding from the European Research Council (ERC) under the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme (grant agreement No. ERC-2016-STG 716083 “CombiTop”).

En informatique, les expressions aléatoires sont couramment utilisées pour analyser des algorithmes, que ce soit pour étudier leur complexité en moyenne, ou pour générer des benchmarks pour les tester expérimentalement. Généralement, ces approches considèrent les expressions en entrée comme des arbres purement syntaxiques, et font abstraction de leur sémantique, c’est-à-dire de l’objet mathématique représenté par l’expression.

Pourtant, deux expressions différentes peuvent être équivalentes (par exemple « 0*(x+y) » et « 0 » représentent la même expression, l’expression nulle). Ces phénomènes de redondances remettent-ils en question la pertinence de ces analyses et ces tests qui ne tiennent pas compte de la sémantique des expressions ?

Je présenterai comment la distribution uniforme sur les arbres syntaxiques d’expressions devient complètement dégénérée lorsqu’on commence à prendre en compte leur sémantique, dans le cas très simple mais courant où il existe un élément absorbant. Si le temps le permet, j’expliquerai pourquoi la distribution ABR laisse plus d’espoirs.

Il s’agit d’un travail effectué pendant ma thèse, en commun avec Cyril Nicaud et Pablo Rotondo.

Dans cet exposé je présenterai un travail en collaboration avec Oriane Blondel et Cristina Toninelli où nous étudions le modèle FA1f en dimension 1. Il s’agit d’un système de particules en interaction (plus précisément un modèle issu de la physique statistique dit modèle cinétiquement contraint où chaque site met à jour la valeur de son spin si une certaine contrainte locale est satisfaite, ici c’est le fait d’avoir au moins un 0 dans ses voisins). Dans ce travail, nous prouvons, sous certaines conditions, une vitesse linéaire, et des fluctuations gaussiennes, pour le front (i.e. le 0 le plus à gauche lorsque l’on part d’une configuration initiale avec que des 1 à gauche de l’origine et un 0 en l’origine). Ce talk sera l’occasion de présenter les techniques classiques utilisées dans les modèles de croissance aléatoire tels que le processus de contact et de parler de méthode de couplage permettant de passer d’un modèle bien connu a un modèle plus complexe (en particulier non attractif).

Après avoir présenté les défis numériques actuels pour atteindre des tailles de réseaux de l’ordre du cerveau humain, j’expliquerai pourquoi les processus de Hawkes peuvent être un bon modèle pour passer à l’échelle. J’expliquerai comment les algorithmes classiques peuvent être renouvelés pour y arriver. Une des approches les plus innovantes est basée sur un résultat probabiliste fort : la décomposition de Kalikow, qui permet de tirer au hasard les dépendances spatiales et dans le passé et que nous avons redéfini en temps continu. Elle permet en particulier de simuler un neurone immergé dans un réseau infini sans avoir à simuler le réseau infini. Ce travail est effectué en collaboration avec Eva Löcherbach (mathématicienne, Paris I), Alexandre Muzy (informaticien, Université Côte d’Azur) ainsi que nos étudiants : Cyrille Mascart, Tien Cuong Phi et Paul Gresland.

Dans une population homogène, le nombre de reproduction de base, noté R₀, est défini comme le nombre moyen de cas directement générés par une personne contagieuse quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Ce nombre joue un rôle fondamental en épidémiologie puiqu’il constitue un seuil qui détermine si l’épidémie va finir par disparaître (cas R₀ ≤ 1) ou, au contraire, devenir endémique (cas R₀ > 1).
Imaginons désormais qu’une proportion 1 − 1/R₀ de la population est immunisée (en étant vaccinée par exemple). Le nombre moyen d’individus qu’infecte la personne contagieuse est alors divisé par R₀. On en déduit que le nouveau nombre de reproduction, qualifié d’effectif dans ce cas, est égal à 1 : l’épidémie finira par disparaître grâce au phénomène d’immunité grégaire. Le nombre 1 − 1/R₀, appelé seuil d’immunité de groupe, est souvent utilisé pour evaluer l’efficacité d’une politique de vaccination par les autorités sanitaires.
Quand les contacts dans la population ne sont plus homogènes, le nombre de reproduction de base est défini comme le nombre de cas directement générés par une personne infectée typique quand tous les autres individus sont sains et sensibles à l’infection. Le seuil d’immunité collective 1 − 1/R₀ reste encore valide quand on vaccine la population uniformément. Il est cependant naturel de se demander si l’on ne pourrait pas abaisser ce seuil en ciblant certains groupes dans la population.
L’objectif de cette présentation est de proposer une formalisation mathématique de ce problème. Pour modéliser les contacts dans la population, j’utiliserai des objets issus de la théorie des limites des grands graphes. Dans la première partie de l’exposé, je présenterai un modèle hétérogène de type SIS (Susceptible → Infecté → Susceptible) avec vaccination que nous avons introduit récemment. Ce modèle servira de base pour définir les stratégies optimales de vaccination, montrer leur existence et étudier leurs propriétés de stabilité. Enfin, je donnerai une série d’exemples où les solutions du problème de vaccination optimale peuvent être exprimées de manière analytique.

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La percolation consiste à partir d’un graphe raisonnable G, d’un paramètre p dans [0,1] et à conserver chaque arête indépendamment avec probabilité p, effaçant toutes les autres. On s’intéresse alors aux composantes connexes du graphe ainsi formé (ces composantes sont appelées amas ou clusters). Par exemple, existe-t-il un cluster infini ?

Il existe un paramètre critique p_c, qui dépend du graphe, tel que :
– pour tout p < p_c, il n’y ait presque sûrement aucun cluster infini,
– pour tout p > p_c, il existe presque sûrement (au moins) un cluster infini.

Le régime sous-critique (p < p_c) est bien compris, et ce pour des graphes généraux. Le régime critique (p = p_c) est considérablement plus difficile : il fait l’objet de grands théorèmes et conjectures. C’est au régime restant, le surcritique (p > p_c), que sera dédié cet exposé. Ce régime est plus difficile que le sous-critique mais moins ardu que le régime critique.

Contrairement au régime sous-critique, le régime surcritique est, en un certain sens qu’on précisera, sensible à la géométrie du graphe de départ. Il est donc raisonnable de se restreindre à certaines classes de graphes définies par des hypothèses géométriques. On verra qu’en se restreignant aux graphes dits « à croissance polynomiale », il est possible d’obtenir une compréhension fine du régime surcritique. Cela permet de retrouver par des techniques nouvelles des résultats déjà connus sur le réseau cubique (Grimmett–Marstrand…), ainsi que de couvrir toute une gamme de graphes intéressants (discrétisations anisotropes de Z^d, graphes de Cayley de groupes nilpotents).

Cet exposé porte sur des travaux réalisés en collaboration avec Daniel Contreras et Vincent Tassion.

Ces dernières années, les méthodes de reconstruction avec a priori de parcimonie (LASSO, Basis Pursuit), très utilisées en statistiques comme en traitement d’images, ont été adaptées pour opérer sur un domaine continu (Beurling Minimal extrapolation, Beurling-LASSO…): on reconstruit alors une somme de masses de Dirac plutôt qu’un vecteur parcimonieux.
Le fait de travailler sur un domaine continu apporte de nombreux avantages: absence de grille de reconstruction et des artefacts de discrétisation associés, analyse plus simple, et algorithmes tirant parti de la structure lisse du problème.

Dans cet exposé, nous nous proposons d’étendre cette démarche à la reconstruction d’objets plus complexes: plutôt que des sources ponctuelles, on veut reconstruire des images constantes par morceaux à l’aide de la régularisation par variation totale du gradient (comme dans les travaux de Rudin, Osher et Fatemi).
Nous montrons qu’en étudiant la boule unité associée, on peut décrire la structure des minimiseurs et définir un algorithme de type Frank-Wolfe « sans grille » pour la résolution du problème.
L’avantage d’une telle méthode est la préservation des bords et l’isotropie des solutions.

Il s’agit d’un travail commun avec Romain Petit et Yohann De Castro.

Accurate spatiotemporal modeling of conditions leading to moderate and large wildfires provides better understanding of mechanisms driving fire-prone ecosystems and improves risk management. We here develop a joint model for the occurrence intensity and the wildfire size distribution by combining extreme-value theory and point processes within a novel Bayesian hierarchical model, and use it to study daily summer wildfire data for the French Mediterranean basin during 1995-2018. The occurrence component models wildfire ignitions as a spatiotemporal log-Gaussian Cox process. Burnt areas are numerical marks attached to points and are considered as extreme if they exceed a high threshold. The size component is a two-component mixture varying in space and time that jointly models moderate and extreme fires. We capture non-linear influence of covariates (Fire Weather Index, forest cover) through component-specific smooth functions, which may vary with season. We propose estimating shared random effects between model components to reveal and interpret common drivers of different aspects of wildfire activity. This leads to increased parsimony and reduced estimation uncertainty with better predictions. Fast approximate (but accurate) Bayesian estimation is carried out in the framework of the integrated nested Laplace approximation. Our methodology provides a holistic approach to explaining and predicting the drivers of wildfire activity and associated uncertainties.

This talk aims to incorporate two subjects for developing a framework for studying the long-time behavior solution of singular delay equations. Singular delay equations fail to induce the flow property. Accordingly, for a long time, many people have believed it is not possible to apply the idea of random dynamical systems to this family of equations.
In this talk, we claim, is possible. The main trick is to regard the solution in the language of the Rough path and then construct the flow property in a bundle-like family of Banach spaces. The main challenge here is to prove the Multiplicative Ergodic Throem in this new framework. After proving this crucial theorem, we can generate the Lyapunov exponents. These exponents can be regarded as a generalization of eigenvalues. We then apply these theorems to prove the invariant manifolds in our setting. The main tools here are the rough path theory and random dynamical systems.
This talk is based on my doctoral thesis. I recently have defended my thesis in February.

Dans cet exposé, on présentera les outils des structures de régularité pour traiter les EDP stochastiques singulières qui ne sont pas invariantes par translation. On décrira en particulier l’équation renormalisée pour une très large classe de schémas de renormalisation dépendant de l’espace-temps. Cette approche est basée sur des renormalisations locales qui agissent directement au niveau de l’équation. L’exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Ismaël Bailleul.