Dans cet exposé, on s’intéressera à une marche aléatoire non markovienne, telle que la probabilité que la marche aille en un point donné est plus faible si elle est déjà passée souvent le long de l’arête entre la position initiale et la cible. Les modèles de ce type les plus étudiés sont ceux dans lesquels les arêtes sont non orientées. Cependant, en 2008 Tóth et Vető ont introduit une telle marche aléatoire avec auto-interactions pour laquelle les arêtes sont orientées, et découvert des propriétés très différentes de celles des modèles avec arêtes non orientées. Malgré l’intérêt d’un tel comportement, très peu de résultats ont été obtenus depuis sur ce modèle. On présentera de nouveaux théorèmes limites pour cette marche aléatoire.

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d’arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l’organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d’arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

L’exposé s’intègrera à la masterclass M2

Dans cet exposé, nous étudions les conditions sous lesquelles la convergence du processus ponctuel des zéros de fonctions holomorphes aléatoire implique la convergence des fonctions holomorphes elles-mêmes. Nous montrons comment appliquer ce résultat au cas du polynome caractéristique de matrices aléatoires, et conjecturalement, à la fonction zeta de Riemann.

Joint work with Julien Chiquet and Stéphane Robin

Joint Species Abundance Models (JSDM) provide a general multivariate framework to study the joint abundances of all species from a community. JSDM account for both structuring factors (environmental characteristics or gradients, such as habitat type or nutrient availability) and potential interactions between the species (competition, mutualism, parasitism, etc.), which is instrumental in disentangling meaningful ecological interactions from mere statistical associations.

Modeling the dependency between the species is challenging because of the count-valued nature of abundance data and most JSDM rely on Gaussian latent layer to encode the dependencies between species in a covariance matrix. The multivariate Poisson-lognormal (PLN) model is one such model, which can be viewed as a multivariate mixed Poisson regression model. The inference of such models raises both statistical and computational issues, many of which were solved in recent contributions using variational techniques and convex optimization.

The PLN model turns out to be a versatile framework, within which a variety of analyses can be performed, including multivariate sample comparison, clustering of sites or samples, dimension reduction (ordination) for visualization purposes, or inference of interaction networks. We will presents the PLN framework and some variants and illustrate them on typical datasets. All the models and methods are implemented in the R package PLNmodels, available from cran.r-project.org.

We will introduce the setting of random dynamical systems with absorption, as for example induced by iterated function systems or stochastic differential equations on a bounded domain with killing at the boundary. We will show how to embed the process conditioned to never being absorbed, the Q-process, into the framework of random dynamical systems, allowing us to study multiplicative ergodic properties and the notion of Kolmogorov-Sinai entropy. Finally, we will elaborate on the relation between entropy and Lyapunov exponents for this setting.

La marche aléatoire de l’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On commencera par introduire la marche aléatoire de l’éléphant en dimension 1 et sa généralisation à dimension d. On présentera ensuite plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW, telles que l’approche martingale, lien avec les urnes de Polya ou encore les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif en dimension 1, et éventuellement en dimension d.

Nous nous intéresserons ici à l’obtention d’estimées bilatérales pour la densité du processus de Langevin tué au bord de l’ouvert D=(0,1) x R^d dans le cas d’un potentiel quadratique. Ces estimées sont cruciales pour obtenir un résultat de convergence de la distribution conditionnée à rester dans le domaine D vers l’unique distribution quasi-stationnaire, avec un préfacteur indépendent de la distribution initiale. En raison de la dégénérescence du Langevin et du fait que le domaine D soit non borné, il est nécessaire de développer une approche nouvelle. Dans ce travail, nous commençons par prouver des estimées bilatérales et explicites sur la probabilité du premier temps de sortie, que nous parvenons ensuite à étendre à la densité du processus tué à l’aide de contrôles gaussiens obtenus dans un travail précédent.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux équilibres de Nash dans des jeux différentiels à deux joueurs avec contrôle sur les coefficients de diffusion, et avec corrélation des mouvements browniens dirigeant les équations. Nous considérerons des jeux de classement à somme nulle, dans le sens où les critères optimisés par les joueurs ne dépendent que de la différence des processus d’état des deux joueurs. Dans ce cadre, nous donnerons explicitement les stratégies d’équilibres, en fonction de la corrélation : si le coefficient de corrélation est inférieur à un certain seuil, les stratégies d’équilibres sont des « contrôles forts », tandis que si le coefficient de corrélation est supérieur à ce même seuil, les stratégies d’équilibres sont « mixtes », dans le sens où les joueurs auront un intérêt à choisir leurs stratégies au hasard. Cet exposé sera l’occasion d’introduire la formulation dite « relaxée » des problèmes de contrôle et de jeu stochastiques, formulation basée sur des solutions à des problèmes de martingales. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Stefan Ankirchner (Université de Jena) et Julian Wendt (Université de Jena).

On se donne $(T(n):n\ge 1)$ un processus d’arbres construits récursivement sommet par sommet (par exemple, le processus de Barabàsi—Albert), que l’on observe à un temps n long. Notre but est de retrouver le sommet initial (Adam). Plus précisément, on veut trouver un sous ensemble de sommets le plus petit possible qui contient Adam avec probabilité au moins $1-\epsilon$.
Après un aperçu des résultats existants pour les arbres récursifs uniformes et ceux de Barabàsi—Albert, je montrerai que pour trouver Adam, il vaut mieux chercher Adam et Eve.
Travail en collaboration avec Nicolas Curien, Perrine Lacroix, Etienne Lasalle et Vincent Rivoirard.

Nous présenterons des résultats de limites d’échelles de fonctionnelles additives de processus non-markoviens, dont nous décrirons la limite en termes de temps locaux du processus. Une étape clé dans nos preuves consiste en une nouvelle descriptions de fonctionnelles additives à l’aide d’un Lemme de la Couturière Stochastique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Khoa Lê (Université de Leeds).

Les processus de branchement apparaissent dans de nombreux modèles de dynamique des populations, notamment pour décrire des invasions. En particulier, ils interviennent dans la description des premières phases d’une épidémie pour déterminer si le nombre d’infectés va exploser ou non et si oui à quelle vitesse. Dans ces modèles, la description des contacts joue un rôle important.
Après une introduction sur ces problématiques, nous nous focaliserons sur un modèle incluant le traçage des contacts. Dans ce modèle, les individus infectent en population mélangée à taux fixe et l’information sur le contact infectieux est perdu à taux fixe, tandis que le test d’un individu infecté aboutit à l’isolement de la composante connexe associée aux contacts encore connus. Grâce à une propriété d’«éclatement» des arbres récursifs uniformes, nous pourrons réduire le modèle à un processus de croissance fragmentation isolation sur les tailles des composantes.
Nous exploiterions alors des techniques récentes d’analyse quantitative des semi groupes non conservatifs et des processus de branchement associé. Cela permettra d’obtenir des convergences fortes pour décrire la propagation de l’épidémie.
Enfin, nous évoquerons des extensions de ce modèle et la prise en compte d’une structuration spatiale des contacts via de grands graphes aléatoires spatialisés, impliquant des techniques d’homogénéisation stochastique.

Ces travaux sont respectivement des collaborations avec Chenlin Gu (Pékin) et Linglong Yuan (Liverpool), Michele Salvi (Rome) et Elisabeta Vergu (INRAe Jouy).

We develop a statistical test on the determinant of the diffusion coefficient in a 1 or 2-dimensional stochastic differential equations from discrete observations on a fixed time interval [0,T] sampled with a fixed time step.
We propose a test statistic based on increments of the process which guarantees the control of the level of the test in a non asymptotic setting. In dimension 1, the test density is known explicitly even when the drift is estimated. We construct the test and give conditions under which the Type I and Type II errors can be controlled. In dimension 2, the test statistic has not an explicit density but upper and lower bounds are provided. We then give conditions under which the Type I and Type II errors of the test procedure can be controlled. A numerical study illustrates the properties of the tests for stochastic processes with known or unknown drifts.

Dans ce travail, nous nous intéressons à des observations associées à une localisation spatiale (généralement une position géographique) et nous cherchons à identifier des agrégats spatiaux, i.e. des zones où les observations ont un comportement atypique. Pour cela, nous utilisons des méthodes de balayage spatial.
Après avoir expliqué comment ces méthodes fonctionnent lorsque les observations sont réelles, nous introduisons des statistiques conçues spécifiquement pour le cas multivarié, puis pour le cas fonctionnel.
Ces méthodes sont appliquées sur des jeux de données environnementaux (concentration de métaux polluants) et socio-économiques (taux de chômage).

We consider the problem of estimating the Lévy density of a pure jump Lévy process, possibly of infinite variation, from the high frequency observation of one trajectory. To directly construct an estimator of the Lévy density, we use a compound Poisson approximation and we build a linear wavelet estimator. Its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\ge 1$, over Besov balls. To show that the resulting rates are minimax-optimal for a large class of Lévy processes, we propose new non-asymptotic bounds of the cumulative distribution function of Lévy processes with Lévy density bounded from above by the density of an alpha-stable type Lévy process in a neighbourhood of the origin. It is a joint work with Céline Duval.

Nous nous intéressons au comportement en temps long des processus de Markov obtenus comme solutions optimales de problèmes d’optimisation stochastique, comme par exemple des problèmes de contrôle stochastique ou des problèmes de transport optimal stochastique. Dans ce contexte, le générateur du processus n’est pas connu en forme explicite et depend de la solution d’une EDP non linéaire, typiquement une équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman. Le but de cet exposé est d’expliquer comment on peut définir une notion de mesure invariante, qu’on appelle turnpike dans ce cadre, et d’illustrer les idées de base d’une technique par couplage qui permet d’obtenir des résultats de convergence exponentielle vers le turnpike. Dans un deuxième temps, la question der comment éteindre ces notions et résultats au contrôle McKean-Vlasov sera aussi abordée.

General Bayesian Networks (GBNs) extend Bayesian networks to the modeling of continuous links in the data.
I will demonstrate the implementation of the GBNs in the context of risk monitoring for Legionella infection from the use of reclaimed wastewater to irrigate agricultural plots.
I will also discuss the use of these networks to evaluate hypothetical scenarios of how failures of the system propagate in the model.

Hawkes process was introduced by Hawkes in 1971 and are widely used in many applications (earthquakes, neurons, social network, finance, etc.). This jump process has an intensity which depends on the past. Linear « self-exciting » Hawkes process has been particularly studied and some asymptotic results are well-known.
During my PhD, with Manon Costa and Patrick Cattiaux, I considered non-linear Hawkes processes, which can model self-inhibition and self-excitation. We proved asymptotic properties (law of large numbers, CLT, large deviations), by considering a new point of view for this process: the renewal structure of some Hawkes process leads to a comparison with cumulative processes.
In this talk, I’ll introduce Hawkes processes and cumulative processes. By exhibiting their link, I’ll give an idea of the approach we use to prove asymptotic properties.

During this talk, we will review some recent advances in the multiplicative coalescent theory and its link to random graphs. The multiplicative coalescent dynamic naturally emerges when one regards the evolution of the connected components in a graph-valued Markov process. We will mainly focus on the breadth-first walk introduced by V. Limic (2019), a Lévy-type process encoding a random forest whose components (trees) are a representation of the multiplicative coalescent. We will then focus on the extension of this construction to account for the surplus edges data, in addition to the spanning edge data. We will present two different graph representations of the multiplicative coalescent, with different advantages and drawbacks, that are discussed in detail. In particular, we will show how to recover a realization of the random graph at a fixed time, and also as a process when the time parameter evolves. We will also discuss the use of these results to understand the scaling limits of near-critical random graphs in the domain of attraction of general eternal multiplicative coalescent.

Les MAMEs sur des graphes sont les MAs qui maximisent l’entropie trajectoriellement. Leurs constructions nécessitent une connaissance globale du graphe dont le rayon spectral et vecteur propre positif associé. A contrario, les MA simples peuvent être vues comme celles maximisant l’entropie localement.

Ces MAs ont été introduites il y a une dizaine d’années par des physiciens et des informaticiens. Elles ont par exemple de meilleures propriétés diffusives dans les réseaux réguliers et de fortes propriétés de localisations dans les milieux irréguliers. Elles ont déjà trouvé de nombreuses applications dans le traitement d’images ou la prédiction de liens dans un graphe notamment.

Je présenterai quelques exemples, notamment des MAMEs sur des graphes infinis et des processus d’exclusions maximaux entropiques, et je parlerai de certaines limites d’échelles de ces processus (Bessel 3, Mouvement Brownien de Dyson…).

Dans cet exposé, on introduit une nouvelle classe de schémas numériques qui permettent des approximations de faible régularité du second moment de la solution d’une EDP dispersive avec des données initiales aléatoires. Cette quantité joue un rôle important en physique, en particulier dans l’étude de la turbulence des ondes où il faut adopter une approche statistique afin d’obtenir une compréhension approfondie du comportement générique à long terme des solutions aux équations dispersives. Nos schémas utilisent une discrétisation basée sur la résonance après avoir appliqué le théorème de Wick qui produit des diagrammes de Feynman. Pour écrire ces schémas, on introduit des forêts décorées appariées qui sont deux arbres décorés dont les décorations sur les feuilles viennent par paires. La construction du schéma s’inspire du traitement des équations aux dérivées partielles stochastiques singulières via les structures de régularité. Il s’agit d’un travail conjoint avec Yvonne Alama Bronsard et Katharina Schratz.