Séminaires

titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de « complexifier » l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

La conjecture du cône mobile de Morrison–Kawamata prédit que, pour certaines variétés de type Calabi–Yau, l’action du groupe des pseudo-automorphismes sur le cône mobile modifié admet un domaine fondamental rationnel polyédral.

Dans cet exposé, je présenterai une version relative de cette conjecture pour des fibrations K-triviales. Le résultat principal concerne des fibrations dont la fibre très générale est un quotient, par un groupe fini d’automorphismes, d’un produit d’une variété abélienne et de variétés irréductibles holomorphiquement symplectiques projectives de types connus. Nous verrons que, dans ce cadre, la conjecture du cône mobile relative vaut sous forme faible. J’expliquerai également comment les méthodes de preuve conduisent à la finitude des modèles minimaux relatifs de telles fibrations.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.