An elementary Mori contraction from a smooth variety $X$ is a morphism with connected fibres onto a normal variety which contracts a single extremal ray of $K_X$-negative curves. Thanks to a result by P. Ionescu and J. Wisniewsi, we know that the length of such a contraction (i.e. the minimal degree $-K_X$ can have on contracted rational curves) is bounded from above. In a paper which dates back to 2013, A. Höring and C. Novelli studied elementary Mori contractions of maximal length, that is, elementary Mori contractions for which the upper bound is met. Their main result exhibits the structure of a projective bundle for the locus of positive-dimensional fibres up to a birational modification. In my talk, I will move to the submaximal case, in other words the case where the length equals its upper bound minus one, and focus on the divisorial case.

A question of Orlov is whether the derived category of the Grothendieck-Knudsen moduli space M(0,n) of stable, rational curves with n markings admits a full, strong, exceptional collection that is invariant under the action of the symmetric group S_n. A consequence of the conjecture is
that the S_n representation given by the cohomology is a permutation representation. After an introduction to moduli
spaces of stable rational curves and exceptional collections, I will present an approach towards answering this question (joint work with Jenia Tevelev).

Travail en collaboration avec Marta Agustà­n Vicente. L’objet de cet exposé est l’étude des nombres de Betti de la cohomologie d’intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d’une action d’un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d’éventails divisoriels (notion généralisant le passage d’un éventail de cones rationnels à  une variété torique). Cette description encode la donnée d’un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d’une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l’application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l’eventail divisoriel associé.

Exposé dans le cadre du groupe de travail sur les groupes de Kac-Moody

Soit X une variété compacte kählérienne. Le problème de Kodaira demande si X admet toujours une déformation au-dessus d’une base qui contient une partie dense paramétrant des variétés projectives. Pour les surfaces, une telle déformation existe toujours (Kodaira), tandis qu’en chaque dimension plus grande que 4, il existe des variétés répondant négativement à  ce problème (Voisin). Dans cet exposé, nous expliquerons notre solution au problème de Kodaira pour les variétés de dimension 3.

Par analogie avec les fonctions de type positif et les fonctions conditionnellement de type négatif, classiques en théorie des représentations des groupes, nous étudions les fonctions de type hyperbolique. Nous donnons des exemples de telles fonctions et quelques applications. Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Monod ( https://arxiv.org/abs/1805.12479 ).

On va présenter une caractérisation birationnelle des
variétés abéliennes comme les variétés de dimension de Kodaira 0
telles
que une puissance symétrique du cotangent soit génériquement engendrée
par les sections globales.
Après avoir donné une idée de la preuve,
on va montrer quelques unes des propriétés de positivité de fibrés
vectoriels qui ont motivé ce résultat:
la construction des lieux de base asymptotiques et de la fibration de Kodaira.

We prove that the stability index of a compact constant mean curvature (CMC) surface in the Euclidean space or in the unit sphere is bounded from below by a linear function of its genus. We also will discuss some results in the case of free-boundary CMC surfaces in a mean convex body of R^3. These results are part of joint works with Darlan de Oliveira.

Je vais parle d’un travail en commun avec Jens Hornbostel
ainsi que d’un travail en cours avec Tomo Matsumura qui permet le calcul
de certains produits dans le cobordisme algebrique des varietes de
drapeaux.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.