Séminaires

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

En collaboration avec Felix Schulze (Warwick University)

Les solutions auto-similaires expansives du flot de Ricci sont des solutions n’évoluant que par homothéties et difféomorphismes. De telles solutions sont aussi appelées solitons (gradients) expansifs de Ricci. Ces métriques sont de bons candidats pour lisser instantanément des singularités métriques (isolées) éventuellement kahlériennes. Nous traitons ici la question de l’unicité de telles solutions ayant pour condition initiale un cône métrique fixé. Comme première étape, nous développons une fonctionnelle de Lyapunov appelée entropie relative dans ce contexte.

Dans cet exposé, je présenterai des travaux récents sur le flot géodésique des variétés non-compactes à  courbure négative, dont la plupart sont en collaboration avec B. Schapira et S. Gouà«zel. Je commencerai par rappeler le contexte géométrique et certains de ses liens avec la théorie géométrique des groupes et l’analyse sur les variétés. Puis je présenterai diverses visions classiques de l’entropie du flot géodésique en courbure négative, à  partir desquelles j’introduirai la notion d’entropie à  l’infini.

On dit qu’une variété présente un « trou critique » si l’entropie totale est strictement plus grande que l’entropie à  l’infini. J’expliquerai enfin pourquoi ce concept de trou critique semble central pour l’étude des dynamiques non-compactes, et je présenterai divers résultats que nous avons obtenu à  ce sujet et quelques travaux en cours.

Dans cet exposé nous montrerons, en suivant l’article de Greb-Guenancia-Kebekus, qu’une variété projective klt à  fibré canonique numériquement trivial et dont le fibré tangent est fortement stable est, à  revêtement quasi étale près, soit une variété de CY soit une variété de Calabi-Yau soit une variété irréductible symplectique.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Dans cet exposé nous démontrerons un théorème de décomposition du fibré tangent des variétés à  canonique trivial raffinant le théorème de décomposition de Greb-Kebekus-Peternell.
La preuve se base de façon essentielle sur l’utilisation de la décomposition d’holonomie du fibré tangent associée à  la métrique Ricci plate de Eyssidieux-Guedj-Zeriahi sur le lieu régulier. (Le contenu de cet exposé couvre la partie II de l’article de Greb-Guenancia-Kebekus).

Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudie les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d’entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert.

Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégénéré est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à  cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu’un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d’orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d’entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.

Je présenterai un travail récent de F. Campana établissant l’intégrabilité algébrique des feuilletages apparaissant dans la décomposition du fibré tangent d’une variété projective à  canonique trivial. Ces résultats permettent de contourner les arguments de caractéristique positive de S. Druel, dont je donnerai aussi un bref aperçu. Les travaux de Greb-Guenancia-Kebekus et Höring-Peternell, qui seront présentés dans les exposés suivants, constituent un des éléments clés de la preuve.

L’étude des actions par homéomorphismes de réseaux de groupes de Lie sur le cercle donne des résultats de rigidité en rang supérieur à  2. Ces résultats de rigidité suggèrent que, plus généralement, ce pourrait être une conséquence de la Propriété (T) qui est une propriété de rigidité pour les représentations unitaires de groupes.

Le groupe de tous les homéomorphismes du cercle est un groupe qui est naturellement muni de la topologie de la convergence uniforme. Nous verrons qu’il existe des sous-groupes fermés qui possèdent la propriété (T), ont de nombreuses représentations unitaires et agissent sur le cercle de manière non élémentaire. Ces constructions utiliseront un petit peu d’analyse/dynamique complexe, des dendrites et des kaléidoscopes !