Both conjugacy classes of nilpotent matrices (of size $n$) and
irreducible representations of the symmetric group $S_n$ are indexed
by partitions of $n$. For any complex reductive group, there is a
(finite) collection of conjugacy classes of nilpotent Lie algebra
elements, and a (finite) set of irreducible Weyl group
representations, both enumerated by the 1950s. One might therefore
hope for a relationship between these finite sets. I’ll first explain
Springer’s (somewhat complicated) description of such a relationship,
and then Lusztig’s identification of a {\em bijection} between what he
called {\em special} Weyl group representations and {\em special}
nilpotent orbits.

I’ll explain how these ideas arise in the representation theory of
real reductive groups, and what light that might shed on Lusztig’s
definition of special.

Titre : Processus de Galton-Watson renforcés

Résumé : Après une brève introduction à la notion de renforcement pour les processus aléatoires, nous nous intéresserons aux processus de branchement, vus comme des modèles de base d’évolution de populations.

Dans un processus de Galton-Watson classique, les individus se reproduisent indépendamment les uns des autres et selon une loi de reproduction fixe $\nu$. La version renforcée dépend d’un paramètre mémoire $q\in(0,1)$. Le nombre d’enfants d’un individu typique est alors soit, avec probabilité $q$, le même que celui d’un de ses ancêtres tiré au hasard, soit avec probabilité complémentaire $1-q$, est donné par un tirage indépendant de loi $\nu$. On s’intéressera à la moyenne de la taille de la population à une grande génération. L’approche fait intervenir des arguments combinatoires, une équation différentielle non linéaire remarquable, et l’analyse des singularités; elle doit beaucoup aux travaux de Flajolet et co-auteurs.

L’exposé repose sur des travaux communs avec Bastien Mallein (Toulouse).

Titre : Inégalités isopérimétriques et valeurs propres

Résumé :

Dans cet exposé nous présenterons des résultats classiques et d’autres qui le sont moins sur les inégalités isopérimétriques mettant en jeu les petites valeurs propres du Laplacien. Il s’agit d’un sujet liant la géométrie (spectrale), l’analyse et les équations aux dérivées partielles. Plus précisément, il s’agit de trouver des inégalités optimales pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ du Laplacien (avec diverses conditions au bord) sous des contraintes géométriques, le plus souvent à volume donné. Nous évoquerons également quelques problèmes ouverts dont l’énoncé est particulièrement simple mais qui résistent depuis de nombreuses années.

Titre : Singular stochastic partial differential equations: more geometry and less combinatorics

Résumé :

Singular stochastic partial differential equations are those stochastic PDE in which the noise is so rough that the nonlinearity requires a renormalization. The guiding principle of renormalization is to preserve as many symmetries of the solution manifold as possible. We follow the approach of mathematical physics, and of Hairer’s regularity structures, which however we re-interpret as providing an informal parameterization of the infinite-dimensional nonlinear solution manifold.

We systematically follow this more geometric/analytic than combinatorial point-of-view: Instead of appealing to an expansion indexed by trees, we consider all partial derivatives w. r. t. the « constitutive » function defining the nonlinearity. Instead of a Gaussian calculus guided by Feynman diagrams arising from pairing nodes of two trees, we consider derivatives w. r. t. the noise, i. e. Malliavin derivatives. We interpret the Malliavin derivative of the parameterization as an approximate tangent vector to the solution manifold, which yields a sparse representation in terms of the parameterization itself, and paves the way for its stochastic estimate. Ultimately, this gives a characterization of the solution manifold that is oblivious to the divergent counter terms.

This is work with L. Broux, P. Linares, M. Tempelmayr, and P. Tsatsoulis, based on work with J. Sauer, S. Smith, and H. Weber.

Titre : Tours en mouvement : un mathématicien amateur à la fin du XIXe siècle

Résumé : Henri Delannoy (1833-1915), ancien intendant militaire, correspondant d’Edouard Lucas et d’Eugène Catalan, s’est intéressé aux déplacements des tours et des reines sur des échiquiers et à leurs applications à la combinatoire et aux probabilités. Ses recherches, redécouvertes par Sylviane Schwer et Cyril Banderier en particulier, sont un lieu d’observation privilégié sur la société mathématique française de la fin du XIXe siècle, la place des amateurs, les modes de diffusion de leurs travaux et leurs relations parfois conflictuelles avec le monde universitaire et l’Académie des sciences. L’exposé les présentera dans ces différents contextes.

Titre : Stochastic quantization of Yang-Mills

Résumé : We report on recent progress on the problem of building a stochastic process that admits the (hypothetical in 3D) Yang-Mills measure as its invariant measure. One interesting feature of our construction is that it preserves gauge-covariance in the limit even though it is broken by our UV regularisation. This is based on joint work with Ajay Chandra, Ilya Chevyrev, and Hao Shen. Note that the talk will not require any a priori knowledge of the objects / concepts mentioned here.

Titre : Diffusion de sphères dans un milieu aléatoire et le phénomène de déplétion qui en résulte. Ou encore: comment les beignets s’agitent-ils dans une friteuse ?

Résumé : Nous considérons une dynamique spatiale de sphères dures s’entrechoquant avec les petites particules du milieu dans lequel elles se meuvent. Un phénomène surprenant – connu en physico-chimie comme une déplétion – apparait: le milieu ambiant induit une attraction à courte portée entre les sphères dures. Quand la densité du milieu augmente, les sphères ont alors tendance à former un certain type d’amas. Lesquels?

Le but de cet exposé est de montrer comment une dynamique probabiliste permet d’approcher le problème classique (et difficile) suivant de géométrie discrète:
identifier les empilements dans Rd de n sphères identiques qui maximisent le nombre de leurs points de contact.
Nous expliquerons les modèles aléatoires en jeu et illustrerons notre propos par de nombreux croquis et par des simulations.

Les résultats présentés sont le fruit d’une collaboration avec Myriam Fradon (Lille), Julian Kern et Alexander Zass (Berlin).

Titre : Analyse semi-classique et correspondance classique-quantique

Résumé : Dans cet exposé on parlera d’analyse semi-classique, revisitant les fondamentaux et décrivant quelques problématiques et développements plus actuels.

Titre : Free Probability, Random Matrices, and Non-Commutative Rational Functions

Résumé : In free probability we want to understand the distribution of functions in non-commuting variables. I will explain what this means and what we actually calculate. In particular, the variables will typically be random matrices or operators on Hilbert spaces and a prominent class of functions will be given by non-commutative rational functions.

For this talk, no prior knowledge on operator algebras or random matrices or free probability is assumed.

Les Éléments de mathématique désignent une vaste entreprise éditoriale menée par le groupe Nicolas Bourbaki sur des thématiques aussi diverses que la théorie des ensembles, l’algèbre, la topologie, les espaces vectoriels topologiques, l’intégration ou encore les groupes et les algèbres de Lie. Les premiers fascicules des Éléments paraissent ponctuellement à la fin des années 1930 et durant la période de l’Occupation, avant de faire l’objet de publications régulières à partir de 1947. Dans le cadre de cet exposé, nous reviendrons tout d’abord sur les premières années d’existence du groupe afin de comprendre comment cette entreprise est née. Nous dresserons ensuite un état des lieux des archives disponibles permettant de documenter la genèse des Éléments de mathématique, ce qui nous conduira à mettre en exergue certaines pièces issues du fonds Jean Delsarte qui est conservé à la bibliothèque de l’Institut Élie Cartan. Les archives du groupe Bourbaki sont essentiellement composées de deux classes de documents : des Rédactions qui documentent les états intermédiaires dans la genèse d’un fascicule des Éléments de mathématique et les numéros du Journal de Bourbaki qui contribuent à comprendre comment ces Rédactions ont été discutées, critiquées et révisées. Nous reviendrons sur les précautions de méthode qui s’imposent pour étudier et relier ces deux grandes classes de documents. Enfin, nous présenterons succinctement l’état de nos recherches sur les premières rédactions Bourbaki dévolues aux groupes et aux algèbres de Lie.  

This talk will be about a project aiming to illustrate geometry through puzzles. The puzzles, played following simple rules on square-tiled surfaces, have natural configuration graphs with a geometry of their own. These graphs are not unlike other combinatorial graphs used in the study of moduli spaces of surfaces and which can be visualized in similar ways. The goal will be to play around with the puzzles, explore their graphs and have fun.

The Quadratis puzzles were created and brought to life together with Paul Turner, Mario Gutiérrez and Reyna Juárez (see http://quadratis.app).

La théorie quantique des champs est un domaine majeur de la physique théorique et expérimentale. Ceci est du au fait qu’elle permet de décrire la physique des hautes énergies avec une précision stupéfiante. Malgré ce succès, c’est souvent un véritable défi pour le mathématicien de donner une définition rigoureuse aux théories quantiques qui apparaissent en physique. Parmi les théories des champs, il existe des théories spéciales en dimension 2 avec des symétries remarquables et appelées théories conformes. Le but de cet exposé est d’expliquer ce qu’est une théorie conforme et de montrer comment on peut utiliser la théorie des probabilités pour donner un sens rigoureux à l’une d’elle appelée théorie conforme des champs de Liouville et qui fut introduite par Polyakov en 1981 dans le cadre de sa construction de la théorie des cordes.

Basé sur une série de travaux avec: F. David, C. Guillarmou, A. Kupiainen, R. Rhodes.

Le modèle d’Ising et celui des dimères sont deux modèles de mécanique statistique. Le premier date des années 1920, il modélise le ferromagnétisme; quant au deuxième, il est apparu dans un article de 1938 et modélise la répartition de molécules di-atomiques à la surface d’un cristal. En 1966, Fisher établit une correspondance, qui s’est avérée très féconde, entre ces deux modèles. La Z-invariance a été introduite par Baxter à la fin des années 1970. Il s’agit d’imposer des contraintes sur les paramètres du modèle, qui lui confèrent des propriétés remarquables. Le but de cet exposé est d’expliquer ces modèles, leur lien, la pertinence de la Z-invariance et le type de résultats que l’on peut obtenir. Une partie sera surtout historique, et vers la fin je parlerai de travaux en collaboration avec Cédric Boutillier (Sorbonne université) et Kilian Raschel (Université de Tours).

Le problème aux valeurs propres de Steklov est récemment devenu un sujet central en géométrie spectrale.
Je présenterai un survol de certains développements récents dans cette thématique, avec un accent particulier sur le comportement spectral asymptotique pour les polygones. Ce problème est étroitement lié à des questions classiques en dynamique des fluides, ainsi qu’en théorie des graphes quantiques. La célèbre question « Peut-on entendre la forme d’un tambour ? » dans le contexte du problème de Steklov sera également discutée.

La connaissance du concept de vagues sur une plage est un prérequis; toutes les autres notions seront expliquées.
L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Michael Levitin, Leonid Parnovski, David Sher, et Stanislav Krymski.

On va considérer dans cet exposé diverses configurations aléatoires de points (appelées aussi processus ponctuels), sur l’axe réel ou dans le plan notamment. Les processus ponctuels les plus étudiés par les probabilistes sont les processus de Poisson : le nombre de points dans une boîte fixée est dans ce cas indépendante de la configuration à l’extérieur de la boîte. Au contraire, certains processus ponctuels naturels sont rigides, c’est-à-dire que le nombre de points dans la boîte fixée est prescrit exactement par la configuration à l’extérieur. En termes physiques, il serait impossible de rajouter de force un point supplémentaire dans la boîte sans dépenser une énergie infinie.
Cette propriété de rigidité est intrigante et se manifeste souvent pour des systèmes de particules fortement corrélés, provenant par exemple de la combinatoire, de la théorie des représentations ou des matrices aléatoires. Je montrerai plusieurs tels exemples et expliquerai comment on peut aborder mathématiquement les questions de rigidité.

Louis-Pierre Arguin (City University of New York)

Les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann sur l’axe critique (et non seulement les zéros!) jouent un rôle important en théorie des nombres. Par exemple, l’hypothèse de Lindelöf stipule que le module de la fonction sur l’axe critique à la hauteur T croît plus lentement que toute puissance de T. Il s’avère qu’il est plus facile de décrire les grandes valeurs de zêta dans des intervalles courts. Dans cet exposé, je décrirai les travaux récents sur cette question. En particulier, j’expliquerai les connexions intéressantes entre les grandes valeurs de zêta et les statistiques des valeurs extrêmes des processus branchants en probabilités.

Les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann sur l’axe critique (et non seulement les zéros!) jouent un rôle important en théorie des nombres. Par exemple, l’hypothèse de Lindelöf stipule que le module de la fonction sur l’axe critique à la hauteur T croît plus lentement que toute puissance de T. Il s’avère qu’il est plus facile de décrire les grandes valeurs de zêta dans des intervalles courts. Dans cet exposé, je décrirai les travaux récents sur cette question. En particulier, j’expliquerai les connexions intéressantes entre les grandes valeurs de zêta et les statistiques des valeurs extrêmes des processus branchants en probabilités.

Nicolas Lerner (Sorbonne Université)

Les inégalités de Carleman portent le nom du mathématicien suédois de l’université de Lund, Torsten Carleman (1892-1949). Celui-ci inventa en 1939 une méthode pour démontrer des propriétés de continuation unique pour des solutions d’équations aux dérivées partielles elliptiques. Ces méthodes ont été développées par la suite dans maints domaines des mathématiques. Dans cet exposé, nous suivrons le cours de l’histoire et examinerons pour commencer les résultats classiques d’unicité de Cauchy, dus à Alberto Calderón et Lars Hörmander, obtenus à la fin des années cinquante par la méthode de
Carleman. Nous évoquerons ensuite une partie des développements de cette méthode dans la période plus récente, avec des applications en théorie du contrôle, en théorie spectrale et en mécanique des fluides.

Zeev Rudnick (Université de Tel-Aviv)

One of the outstanding insights in the field of « Quantum Chaos » is a conjectural description of local statistics of the energy levels of simple quantum systems according to crude properties of the dynamics of classical limit, such as integrability, where one expects Poisson statistics, versus chaotic dynamics, where one expects Random Matrix Theory statistics. These insights were obtained by physicists in the last quarter of the 20-th century. However, mathematicians are far behind in understanding the scope and validity of this theory. The first part of the lecture will be dedicated to an introduction to these conjectures. In the second part, I will describe more recent work on statistics of the minimal gap between the eigenvalues for one such simple integrable system, a rectangular billiard having irrational squared aspect ratio. When the aspect ratio is the « golden ratio », the problem involves some curious and entertaining properties of the Fibonacci sequence.