We consider the reaction-diffusion competition system

which is the so-called critical case. The associated ODE system then admits infinitely many equilibria, which makes the analysis quite intricate. We first prove the non-existence of monotone traveling waves by applying the phase plane analysis. Next, we study the long-time behavior of the solution of the Cauchy problem with a compactly supported initial datum. We not only reveal that the  »faster » species excludes the   »slower » species (with an identified  »spreading speed »), but also provide a sharp description of the profile of the solution, thus shedding light on a new  »bump phenomenon ».

Nous nous intéresserons dans cet exposé à l’équation de Schrödinger logarithmique (abrégé en logNLS), équation non-linéaire introduite en 1976 par Białynicki-Birula et Mycielski dans un modèle de mécanique des ondes linéaires en physique. Longtemps oublié par les mathématiciens, cette équation présente une dynamique originale, parfois surprenante comparée à celle des équations de Schrödinger non-linéaires usuellement étudiées, dont les non-linéarités sont régulières voire lisses (typiquement du type puissance). J’exposerai quelques propriétés de logNLS qui attestent de cette originalité, en me focalisant sur les résultats de comportement en temps long. En particulier, sera présenté plus en profondeur le cas du régime dispersif, dont la compréhension du comportement en temps grand est très avancée : la vitesse de dispersion est plus rapide d’un facteur logarithmique et le carré du module de la solution renormalisée converge faiblement dans L^1 vers une gaussienne universelle, ne dépendant pas des conditions initiales. Je montrerai que cette description peut être améliorée par une vitesse de convergence explicite et optimale en distance de Wasserstein-1 (aussi appelé métrique de Kantorovich-Rubinstein), indépendante de la constante semi-classique, et que cette convergence est également valable à la limite semi-classique.

L’équation quasi-géostrophique de surface est un modèle issu de la mécanique des fluides géophysiques qui présente de fortes similarités avec l’équation d’Euler incompressible. Le but de cet exposé est de décrire deux constructions variationnelles qui permettent d’obtenir des solutions particulières de cette équation sous la forme d’une paire de vortex en translation et sous celle d’un polygone régulier de vortex en rotation. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ludovic Godard-Cadillac (Université de Nantes) et Didier Smets (Sorbonne Université).

Dans cet exposé, qui se veut élémentaire et facile à suivre, on parlera d’un travail en collaboration avec Antoine Henrot et Ilaria Lucardesi au cours duquel nous cherchons à maximiser la première valeur propre (non triviale) du Laplacien Neumann parmi tous les corps convexes du plan, à Périmètre fixé. Ceci fait référence à une conjecture ouverte depuis au moins 2009. Nous avons notamment résolu la question pour les convexes ayant 2 axes de symétrie orthogonaux à l’aide d’une preuve assez courte et astucieuse. Le cas général semble beaucoup plus difficile, et j’essaierai d’expliquer pourquoi.

The concept of sustainability can be formulated as the search for a stable ecosystemic balance. The manager has an arsenal of legal measures at his disposal, and mathematical models can be used to analyze their performance. Mathematical modeling in fisheries management has undergone significant theoretical development. Looking over basic fishery models of the literature, it appears three main conceptual frameworks to analyze the sustainability. Maximum sustainable yield, optimal equilibrium then viability.  that its application is a process in continuous progress, knowing that the potential of mathematical theory remains under used. For instance, the introduction of the recent development of « game theory » into the modeling of this issue should be helpful. Illustrating therefore the previously stated thesis that the more the assumptions are realistic, the more sophisticated mathematical tools are needed.

We study the minimization of functionals of the form

$$ u \mapsto \int_\Omega f(\nabla u) \, dx $$

with a convex integrand $f$ of linear growth (such as the area integrand), among all functions in the Sobolev space W$^{1,1}$ with prescribed boundary values. Due to insufficient compactness properties of these Dirichlet classes, the existence of solutions does not follow in a standard way by the direct method in the calculus of variations and might in fact fail, as it is well-known already for the non-parametric minimal surface problem. In such cases, the functional is extended suitably to the space BV of functions of bounded variation via relaxation, and for the relaxed functional one can in turn guarantee the existence of minimizers. However, in contrast to the original minimization problem, these BV minimizers might in principle have interior jump discontinuities or not attain the prescribed boundary values.

After a short introduction to the problem I want to focus on the question of regularity of BV minimizers. In past years, Sobolev regularity was established provided that the lack of ellipticity — which is always inherent for such linear growth integrands — is mild, while, in general, only some structure results seems to be within reach. In this regard, I will review several results which were obtained in cooperation with Miroslav Bulíček (Prague), Franz Gmeineder (Konstanz), Erika Maringová (Vienna), and Thomas Schmidt (Hamburg).

La partie « problème direct » est un travail en collaboration avec Christophe Hazard, la partie « problème inverse » une collaboration avec Arnaud Recoquillay.

For a given scatterer, is it possible to design an incident wave that produces no scattering? The answer is yes if and only if the wave number coincides with a resonant frequency of an interior problem formulated inside the scatterer. This duality can be reversed and exploited to compute scattering poles. It can also be used to produce an indicator function for crack densities in a fractured media. These issues and related open questions will be the main topic of my talk.

Dans ce travail en collaboration avec Flaviana Iurlano et Filip Rindler, nous considérons un problème classique d’optimisation qui consiste à rechercher la forme optimale minimisant la compliance d’une structure élastique sous une contrainte de masse. Nous effectuons une analyse asymptotique des formes « quasi-optimales » quand la masse tend vers zéro. Les configurations limites sont données par des mesures de probabilité minimisant une énergie relaxée explicite, due à une perte de convexité du fait de la contrainte de masse. Nous retrouvons ainsi un modèle limite qui justifie rigoureusement la théorie des treillis de Michell pour des structures optimales de petite dimension par rapport à l’espace ambiant.

Il est connu qu’une application harmonique minimisante sur un domaine borné \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) à valeurs dans une variété \(\mathcal{N}\) — à savoir minimisant l’énergie de Dirichlet avec sa propre donnée au bord — est lisse. En particulier, si \(\Omega\) est simplement connexe, alors il n’est pas possible d’étendre à énergie finie une donnée au bord dont la classe d’homotopie n’est pas triviale. Pour de telles données au bord, nous verrons cependant comment définir des applications les plus harmoniques possibles. Ces applications sont harmoniques en dehors d’un ensemble fini de points — ou singularités ponctuelles — d’où l’appellation {\it applications harmoniques singulières}. L’énergie diverge alors logarithmiquement près de chaque singularité et dépend de la classe d’homotopie associée (le degré dans le cas où la variété est le cercle). La minimisation de l’énergie à l’ordre principal conduit à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles ; nous décrirons quelques exemples concrets issus de la physique. À l’ordre suivant, être le plus harmonique possible signifie que l’énergie renormalisée, obtenue en retirant à l’énergie de Dirichlet la contribution infinie près de chaque singularité, est minimale. Nous verrons que pour certaines variétés suffisamment symétriques, en particulier dans le cas du cercle étudié par Bethuel-Brézis-Hélein, il est possible de caractériser le comportement près d’une singularité des applications minimisant l’énergie renormalisée.

Dans cette présentation sont présentées des méthodes de type éléments discrets ayant la particularité de dériver des équations continues de modèles mécaniques d’intérêt.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec A. Ern et L. Monasse.

We study the asymptotic behavior of linear hyperbolic systems subject to unknown boundary disturbances. Our aim is to construct a boundary feedback law, based on a sliding mode procedure, which rejects the disturbance in finite time and which globally stabilizes the equilibrium point zero. The main novelty of our approach consists in defining a sliding variable and a corresponding sliding surface on which the global exponential stability is ensured. More precisely, the sliding surface is derived from the gradient of a Lyapunov function. We will extend this approach to an equation of conservation laws with simulations.

Dans cet exposé je m’intéresserai à l’approximation numérique du modèle d’Euler à 2 températures dans le cadre bidimensionnel. Ce modèle est un système hyperbolique non conservatif capable de décrire un plasma hors équilibre. L’une de ses principales difficultés réside dans la gestion des
produits entre la vitesse et les gradients de pression dans le cas de chocs. Nous développerons un schéma numérique de type BGK discret que nous
étendrons à l’ordre 2. Cette extension sera réalisée en découpant chaque cellule en 4 triangles et en effectuant une reconstruction affine par maille. Ces idées ont été développées dans un cadre conservatif. Nous montrons dans le cas présent comment elles peuvent se généraliser à un cadre non conservatif.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Denise Aregba-Driollet et Corentin Prigent.

En 2004, C. Besse a présenté pour l’équation de Schrödinger non linéaire cubique la méthode d’intégration en temps appelée méthode de relaxation. Celle-ci est une méthode d’ordre 2, linéairement implicite (c’est-à-dire ne nécessitant que la résolution d’un système linéaire à chaque pas de temps) permettant de préserver à la fois la masse et une énergie discrète, propriétés vérifiées par le modèle continue. Dans cet exposé j’en présenterai deux « extensions ». La première permet d’étendre la méthode au cas d’exposants de non linéarité généraux tout en conservant l’ordre 2 et la préservation de la masse et d’une énergie discrète. La seconde, qui peut également s’appliquer à d’autres équations, permet d’obtenir la construction systématique de méthodes linéairement implicites d’ordre aussi élevé que l’on veut.

First, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space with one boundary fractional damping and we prove that the energy of our system decays polynomially with different rates. Second, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type and we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t. Finally, we investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with local viscoelastic damping of past history type acting only in one equation via non smooth coefficients and we establish the exponential stability of the solution if and only if the two waves have the same speed of propagation. In case of different speed propagation, we prove that the energy of our system decays polynomially with rate 1/t.

Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autre, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde. Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet.

We investigate the evolutionary dynamics of a population structured in phenotype, subjected to trait dependent selection with a linearly moving optimum and an asexual mode of reproduction. The model consists of a non-local and non-linear parabolic PDE. Our main goal is to measure the history of traits when the population stays around an equilibrium. We define an ancestral process based on the idea of neutral fractions. It allows us to derive quantitative information upon the evolution of diversity in the population along time. First, we study the long-time asymptotics of the ancestral process. We show that the very few fittest individuals drive adaptation. We then tackle the adaptive dynamics regime, where the effect of mutations is asymptotically small. In this limit, we provide an interpretation for the minimizer of some related optimization problem, an Hamilton Jacobi equation, as the typical ancestral lineage.

En se concentrant sur les équations de Burgers stochastiques avec bruit blanc espace-temps, on va dérouler une procédure générale et assez standard qui prouve simultanément existence et d’unicité de la solution de l’équation aux dérivés partielles stochastiques avec bruit additif et la convergence (forte) d’un schéma d’approximation vers la solution. Le schéma sera explicite discret de type Euler exponentiel accéléré. Au cours de la présentation on détaillera aussi toutes les quantités qu’on considère, bruit et convolution stochastique inclus. Une partie de l’exposé est basée sur des travaux commun avec A. Jentzen et D. Salimova.

La stabilisation des systèmes dynamiques est un problème classique en théorie du contrôle. Dans de nombreux cas provenant de l’ingénierie ou de la physique, seule une mesure partielle de l’état du système est connue. Une approche commune dans ce cas est de s’appuyer sur une estimation de l’état du système sur laquelle on construit notre contrôle. Cependant, l’estimation du système nécessite que la prise de mesure soit une opération injective pour permettre son inversion, c’est l’observabilité du système. Celle-ci dépend fortement de la dynamique. Pour un système dynamique contrôlé non linéaire, cette injectivité est mise à  mal lorsque le système traverse des singularités d’observabilité o๠la reconstruction de l’état est impossible. A ce jour, peu de garanties existent concernant le contrôle et l’estimation simultanée de systèmes admettant des singularités d’observabilité. On discute donc des difficultés posées par ce cas de figure et on explore des stratégies fondées sur les plongements de systèmes dynamiques et les observateurs de dimension infinie.