In this talk we will show some topological and geometrical results for free boundary submanifolds under some hypothesis on the length of traceless second fundamental form. If time permits, we will deal with the problem of prescribe the curvature on Riemannian manifolds with boundary.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.

La courbure de Gauss d’un corps convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, étendant ainsi la notion de courbure de Gauss des convexes réguliers. Le problème d’Alexandrov consiste, à  partir d’une telle mesure, à  reconstruire le convexe. Pour les convexes de l’espace euclidien, une façon de résoudre ce problème est de se ramener à  un problème de transport optimal sur la sphère.
Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment définir la courbure de Gauss par une propriété de transport de mesures et comment cette approche permet de résoudre le problème d’Alexandrov en se ramenant à  un problème d’optimisation non linéaire. Si le temps le permet, j’expliquerai comment résoudre ce problème d’optimisation.
Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

We discuss a spectral problem characterising the stability of apparent horizons in General
Relativity. Apparent horizons are closed (compact, without boundary) Riemannian surfaces
modelling sections of horizons in black hole spacetimes, namely Lorentzian manifolds satisfying
Einstein equations and containing light-trapped regions. After presenting the geometric elements
relevant for this kind of surfaces, we will formulate the (geometric) spectral problem associated
with the so-called stability operator of Marginally Outer Trapped Surfaces (MOTS), an elliptic
operator defined on these apparent horizons. Interestingly, such spectral problem is equivalent
to the one associated with a magnetic Laplacian with imaginary magnetic field, the magnetic field
term corresponding to the black hole rotation (a potential given by the apparent horizon curvature
is also present). This connection offers a potentially rich bridge between the original geometric
problem in relativity and the spectral analysis study of complexified-magnetic Laplacians.

Soit $M = tilde M/Gamma$ une variété à  courbure négative, de groupe fondamental $Gamma$. La croissance des orbites de $Gamma$ sur $tilde M$ est une indication précise de la complexité de la topologie de $M$, fortement reliée aux propriétés dynamiques de son flot géodésique et au spectre du Laplacien en courbure constante.

Nous montrerons sur des exemples simples de surfaces riemanniennes les liens entre ces différents concepts dynamiques, topologiques et géométriques, grâce à  un contrôle précis de la série de Poincaré associée au groupe fondamental. Nous verrons en particulier comment de petites perturbations de la métrique riemannienne peuvent avoir des effets inattendus sur ces croissances d’orbites.

Travail en collaboration avec Marc Peigné et Pierre Vidotto

We consider a surface S generically immersed in the 4-ball B_4 and bounded by a transverse link L in S_3. Under some conditions at the boundary, we express the self-linking number sl(L) (w.r.t. the contact structure) as

sl(L) = −χ(S) + 2D_S + wind_+

where χ denotes the Euler characteristic, D_S is the number of crossing points and wind_+ counts the tangent planes to S which are Lagrangian and J-complex for some complex structure J on R^4.

We will sketch the proof, discuss the case when the condition at the boundary is not satisfied, give examples and look at the relevance of the formula for minimal surfaces.

Dans ce travail en cours et en commun avec Ines Kath (Greifswald) et Georges Habib (Beyrouth), je m’attacherai à  décrire quelques propriétés des variétés riemanniennes portant une fonction satisfaisant une équation liant sa hessienne au tenseur de Ricci de la variété.

L’espace de Minkowski est l’analogue lorentzien de l’espace euclidien. Il est bien connu qu’il existe un plongement isométrique du plan hyperbolique dans l’espace de Minkowski de dimension 2+1, qui est l’analogue du plongement isométrique de la sphère dans l’espace euclidien. Contrairement au cas euclidien, ce plongement isométrique n’est pas unique à  isométries globales près. Je présenterai des résultats, obtenus conjointement avec Francesco Bonsante et Peter Smillie, sur le problème de la classification de tels plongements isométriques, qui est fortement relié aux équations de Monge-Ampère, aux applications harmoniques entre surfaces riemanniennes et à  la théorie de l’espace de Teichmà¼ller universel.

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.

On s’intéresse aux surfaces minimales orientables, non planes, dont le bord est contenu dans deux plans horizontaux donnés et dont toutes les sections horizontales ont la même orientation. On montre que, dans cet ensemble de surfaces, le minimum de l’aire est réalisé par une caténoïde stable-instable. C’est un travail en commun avec J. Choe.

Dans l’étude des structures géométriques sur une variété, on est souvent amené à  étudier l’espace des représentations de son groupe fondamental $Gamma$ à  valeurs dans un groupe de Lie donné. Lorsque ce groupe est SL(n,$mathbb C$), on dispose de la variété des caractères, qui est un objet algébrique permettant cette étude. Après avoir donné la définition et quelques propriétés de la variété des caractères pour SL(n,$mathbb C$), nous proposerons une définition de « variété de caractères pour une forme réelle » $G$ de SL(n,$mathbb C$), et nous vérifierons qu’elle permet bien l’étude des représentations de $Gamma$ à  valeurs dans $G$ à  conjugaison près.

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbb C$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.

Un théorème de Zimmer des années 1980 assure qu’à  isomorphisme local près, SL(2,$mathbb R$) est le seul groupe de Lie simple et non-compact agissant isométriquement sur des variétés lorentziennes de volume fini. Peu après, Gromov caractérisait la géométrie des variétés sur lesquelles de telles dynamiques se produisent. Dans cet exposé, je m’intéresserai au problème analogue pour des actions conformes de groupes de Lie semi-simples. Une plus grande famille de groupes apparaît, et certains d’entre eux agissent sur de nombreuses variétés non-conformément équivalentes. Néanmoins, nous verrons que la géométrie locale est prescrite par l’existence d’un groupe simple non compact de transformations conformes. Ceci découlera d’une analyse de la dynamique de flots hyperboliques du groupe. J’expliquerai en quoi ceci a des implications sur la forme générale du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte.

We first explore in details a wide variety of examples of locally compact groups which arise in algebra, geometry, and dynamics. In particular, we discuss Lie groups over the reals and over the p-adic numbers, automorphism groups of locally finite trees, and almost automorphism groups of rooted trees. We go on to survey the general theory of locally compact groups.

An injective homomorphism of the fundamental group of an hyperbolic surface in the symplectic group Sp(2n,R) is a maximal representation if it maximizes the so-called Toledo invariant. Maximal representations form interesting and well studied components of the character variety generalizing the Teichm »uller space, that is encompassed in the case n=1. Basmajian’s equality allows to compute the length of the boundary of a hyperbolic surface in term of the lengths of the orthogeodesics: geodesic segments orthogonal to the boundary at both endpoints. In joint work with Federica Fanoni we provide a generalization of this result to the setting of maximal representations. »

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.

Nous étudions les propriétés régularisantes du flot de Ricci dans un contexte kählerien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une résolution Kähler d’un cône métrique Kähler admette une unique structure de soliton de Kahler-Ricci gradient expansif asymptotiquement conique. En particulier, ce résultat généralise tous les exemples connus de telles structures expansives. Nous montrons également que l’espace de module des solitons expansifs de kahler-Ricci conique à  opérateur de courbure positif est connexe par arcs. Ce travail est en collaboration avec Ronan Conlon (Florida International University).

11h – Simon Raulot : Opérateurs de Dirac sur les hypersurfaces plates en temps et applications

13h30 – Daniel Monclair : Critical exponent and Hausdorff dimension in Anti de Sitter geometry

15h – Jérémie Blanc : Topological simplicity of the Cremona groups

page web:
http://www-irma.u-strasbg.fr/article1600.html

Je parlerai d’un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan, dans lequel nous étudions une classe particulière de représentations du groupe fondamental des sphères épointées dans le groupe $text{PSL}(2, mathbb R)$, que nous appelons supra-maximales. Bien qu’elles soient pour la plupart Zariski denses, nous montrons qu’elles sont totalement non-hyperboliques, au sens o๠l’image de toute courbe fermée simple est elliptique ou parabolique. Nous montrons aussi qu’elles sont géométrisables (hormis celles qui sont réductibles) en un sens très fort : pour tout élément de l’espace de Teichmà¼ller, il existe une unique application équivariante holomorphe à  valeurs dans le demi-plan inférieur. Nous montrons également que les représentations supra-maximales forment des composantes compactes des variétés de caractère relatives. Muni de la structure symplectique de Atiyah-Bott-Goldman, ces composantes sont symplectomorphes à  l’espace projectif complexe muni d’un multiple de la forme de Fubini-Study que nous calculons explicitement. Cela généralise un résultat de Benedetto-Goldman pour la sphère à  quatre trous.