This talk will describe various examples of surface groups in SO(4,1) in terms of fundamental domain of its action on S^3. This includes the first examples by Gromov-Lawson-Thurston, and new examples. We will also look at the quotient 3 manifolds which are circle bundles over closed surfaces and a proof of a soft bound on the Euler number of such circle bundles.

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

In a joint work with Mikaela Pilca (University of Regensburg-Germany), we establish a lower bound for the first eigenvalue of the Spin$^c$ Dirac operator defined on a Kähler-Einstein manifold $M$ of positive scalar curvature. This lower bound involves the index of $M$, its scalar curvature and an integer defining the Spin$^c$ structure. The limiting case is characterized by the existence of special spinor fields called Kählerian Killing spinors. As a geometric application of the limiting case, we prove that the only harmonic complex forms of type $(k, k)$ ($k>0$) on Kähler-Einstein manifolds admitting a complex contact structure are the constant multiples of the Kähler form.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.

Soit G un graphe plongé dans la sphère. Quand est-ce que G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans un hyperboloide à  une nappe ? On montrera que c’est le cas si et seulement si G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans la sphère et qu’il a un cycle hamiltonien. La preuve repose sur la description des angles dièdres des polyèdres idéaux dans l’espace anti-de Sitter. Un résultat analogue s’applique aux polyèdres inscrits dans un cylindre, en relation avec une géométrie « transitionnelle » entre hyperbolique et anti-de Sitter. Travail en commun avec Jeff Danciger et Sara Maloni.

La moyennabilité des groupes a été introduite à  la suite du paradoxe de Banach-Tarski qui permet de découper une boule de R^3 en cinq morceaux, les réassembler pour faire deux boules (de même rayon que la boule initiale). Les sous-groupes aléatoires invariants permettent de compactifier d’un coup les réseaux et les sous-groupes normaux d’un groupe localement compact fixé et donne une vision probabiliste à  ces objets. J’introduirai ces deux notions en essayant de faire appel à  des objets connus et j’expliquerai pourquoi les sous-groupes aléatoires invariants et moyennables vivent dans le radical moyennable. Ce qui répond à  une question qui était à  la mode parmi les gens qui s’intéressent à  ces objets.

Une structure bilagrangienne sur une variété symplectique est la donnée de deux feuilletages lagrangiens transverses. Dans un premier temps je vais décrire ces structures et leurs propriétés remarquables, puis étudier leurs relations possibles avec les structures hyperkähleriennes, qui sont l’analogue quaternionique des structures kähleriennes. Dans un second temps, nous verrons que l’étude de ces structures est pertinente en théorie de Teichmà¼ller, notamment dans la description de la géométrie de l’espace quasifuchsien. Il s’agit de travaux en cours en collaboration avec Andy Sanders.

En relativité générale, les équations de contraintes déterminent les données initiales permettant de résoudre les équations d’Einstein comme un problème d’évolution. La méthode conforme – initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York – rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d’un système d’équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé. Nous étudierons dans cet exposé des propriété de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l’ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d’espace-temps solutions des équations d’Einstein. L’analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d’étude des défauts de compacité d’équations elliptiques critiques

Résumé

Depuis les travaux de M. Gromov sur les structures géométriques rigides,on sait que les structures rigides dont le groupe d’automorphisme a une dynamique « compliquée » sont souvent localement homogènes, au moins sur un ouvert dense.  Nous reviendrons sur quelques résultats classiques illustrant ce principe dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3, et présenterons quelques aspects nouveaux.

We discuss the interrelation between the asymptotic behavior of the trajectories of the geodesic flow associated with the modular surface and Diophantine properties of the points at infinity corresponding to the trajectory. Using the correspondence we give estimates for the number of solutions for certain quadratic inequalities in terms of the Hurwitz continued fraction expansions of the slopes of their linear factors.

Dans cet exposé, j’expliquerai l’influence de la géométrie sur l’existence des solutions pour les équations de Hardy-Sobolev perturbées. Plus précisément, on considère $(M,g)$ est une variété Riemannienne compacte et sans bord de dimension $n > 2$, $x_0$ un point singulier naturel et fixe de $M$.  L’équation de Hardy-Sobolev non perturbée est la suivante : (Eq-H-S) $Delta_g u + au = u^{2*(s)-1} / d_g(x,x_0)^s$ avec $s in ]0,2[, 2*(s)$ est l’exposant critique de Hardy-Sobolev, $Delta_g$ est l’opérateur de Beltrami-Laplace. */ Si $n > 3$ alors, par minimisation, il existe une solution de (Eq-H-S) quand le potentiel a est en dessous de la courbure scalaire en $x_0$. */ Si $n=3$ alors il existe une solution de (Eq-H-S) quand la masse de la variété en $x_0$ est strictement positive.   Dans le cas d’une équationÂ à  terme perturbatif sous-critique,  l’existence d’une solution d’ependra uniquement de la perturbation pour les grandes dimensions et qu’une interaction entre la géométrie globale de la variété et la perturbation apparaîtra en dimension 3.

Introduction pour quelques exposés de type groupe de travail sur les courants. Le livre de Morgan « Geometric Measure Theory, a beginner’s guide » sera la référence.

Dans cet exposé, on s’interessera aux représentations du groupe fondamental d’une surface $S$ dans PGL(3) sur un corps valué ultramétrique, agissant sur l’immeuble affine $X$ associé.  On montrera que, dans le cas o๠$S$ a un bord, sous des conditions simples sur les coordonnées de décalage de Thurston-Penner-Fock-Goncharov, l’action préserve un sous-complexe dans $X$, cocompact et faiblement convexe, qui est par morceaux un arbre ou une surface.  En particulier on associe à  ces représentations une famille de $A_2$-complexes finis, analogues aux surfaces de translation et semi-translation mais avec holonomie dans $mathbb{Z}/3mathbb{Z}$, permettant notamment de calculer le spectre de longueurs / valeurs propres.  Cela permet de décrire explicitement une large famille de dégénérescences de structures projectives convexes sur la surface $S$.

L’exposé portera sur des propriétés asymptotiques des groupes de présentation finie. En particulier, il y a une telle propriété, que j’expliquerai, la QSF; elle est liée à  la simple connexité à  l’infini, à  la simple connexité géométrique et aux variétés de dimension trois. J’ai développé un programme pour montrer qu’elle est universelle pour tous les groupes de présentation finie. Ceci est lié, entre autres choses, aux travaux de Gromov et de G.Perelman. Aucune connaissance technique particulière ne sera nécessaire pour suivre l’exposé. Je vais tout définir et expliquer, aussi, le cadre historique du sujet.

In this talk we will consider two uniqueness problems in $mathbb{H}^2timesmathbb{R}$. First, we will prove a halfspace theorem for an ideal Scherk graph $S$ over a polygonal domain $D$ in $mathbb{H}^2$, that is, we will show that a properly immersed minimal surface contained in $Dtimesmathbb{R}$ and disjoint from $S$ is a translate of $S$. Second, we will consider a multi-valued Rado theorem for small perturbations of the Helicoid. More precisely, we will prove that for certain small perturbations of the boundary of a (compact) helicoid there exists only one minimal disk with that boundary.

Au début des années 90, G. Mess découvrit de profondes relations entre la géométrie Anti-de Sitter (AdS) et la théorie de Teichmà¼ller. En particulier, il existe un liens entre applications minimales lagrangiennes entre surfaces et surfaces maximales dans des variétés AdS. Nous expliquerons ce liens et l’étendrons aux cas des variétés à  singularités coniques. Cela démontre l’existence d’un unique difféomorphisme minimal lagrangien entre surfaces hyperboliques à  singularités coniques.

Je décrirai des exemples de sous-variétés minimales de codimension 2 dans des groupes de Lie compacts, essentiellement dans SU(n). Ces constructions, qui ont été réalisées avec Sigmundur Gudmundsson et Martin Svensson, s’inscrivent dans la continuité des travaux de ces deux auteurs sur les morphismes harmoniques d’un groupe de Lie G dans le plan complexe: il s’agit d’ applications harmoniques dont les fibres régulières sont des sous-variétés minimales. Je rappellerai la définition des morphismes harmoniques dans le cas plus général ainsi que les notions de théorie des représentations utilisées dans la construction.