Nous présenterons d’abord un résultat de pincement général pour la première valeur propre d’opérateurs d’ordre 2 pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. Nous déduirons ensuite quelques applications géométriques, notamment concernant les hypersurfaces presque ombiliques ainsi que la stabilité des hypersurfaces CMC ou à  courbures moyennes d’ordres supérieurs constantes. Il s’agit de résultats en collaboration avec Julian Scheuer.

Day a montré, au début des années soixante, que la moyennabilité d’un groupe (une propriété au coeur du paradoxe de Banach–Tarski) pouvait se caractériser via ses actions affines sur un espace localement convexe. Nous montrons qu’une telle caractérisation est en fait déjà  possible dans le monde hilbertien. Ce résultat nous servira de prétexte pour étudier des techniques permettant de transférer des résultats du groupe libre vers un groupe non moyennable général (même quand ce dernier ne contient aucun sous-groupe libre). Travail en collaboration avec Nicolas Monod.

Nous présenterons dans cet exposé un certain nombre de résultats appartenant au domaine de la topologie quantitative, dont un exemple classique est la géométrie systolique, branche de la géométrie métrique étudiant des inégalités de type isopérimétrique sur les variétés riemanniennes fermées. Des résultats récents montrent en particulier que ces inégalités sont reliées à  la géométrie symplectique, la géométrie convexe ainsi que la théorie des nombres, et permettent d’éclairer leur caractère fondamental déjà  souligné par R. Thom.

Une des façons de comprendre une action de groupe consiste à  étudier les actions induites sur les n-uplets de points distincts. Ceci permet de produire d’autres actions du même groupe aux propriétés (récurrence, minimalité, ergodicité…) différentes. Par exemple, étant donné un groupe qui agit sur le cercle par difféomorphismes, on peut se demander si l’action sur les paires de points préserve une forme d’aire. Nous verrons que cette situation intervient naturellement dans l’étude des groupes d’isométries de certaines surfaces lorentziennes. Après avoir vu que dans ce cas il existe toujours un homéomorphisme du cercle qui conjugue l’action à  l’action projective d’un sous-groupe de PSL(2,R), nous étudierons la possibilité d’avoir une conjugaison par difféomorphisme.

L’exposé est une variation autour d’un théorème de M. Gromov, affirmant qu’une structure géométrique rigide dont le groupe des automorphismes admet une orbite dense, doit être localement homogène sur un ouvert dense. Nous discuterons comment ces conclusions peuvent être renforcées dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3.

Une forme de Clifford–Klein compacte d’un espace homogène $G/H$ est un quotient de cet espace par un sous-groupe discret $Gamma$ de $G$ agissant proprement discontinà»ment et cocompactement sur $G/H$. Lorsque $G$ et $H$ sont semi-simples, l’action de $G$ sur $G/H$ préserve une métrique pseudo-riemannienne, et en particulier une forme volume. J’expliquerai pourquoi le volume d’une forme de Clifford–Klein compacte $Gamma backslash G/H$ peut se calculer en intégrant sur la classe fondamentale de $Gamma$ une forme $G$-invariante $omega_H$ sur l’espace symétrique riemannien $G/K$. Dans plusieurs cas, cela permet de montrer que ce volume est rigide. De plus, ce résultat fournit une nouvelle obstruction à  l’existence de quotients compacts de certains espaces homogènes.

It is known that conformally flat hypersurfaces in four dimensional space forms are associated with solutions of a system of equations, known as Lam ́e’s system. In this talk, conformally flat hypersurfaces associated with invariant solutions under the symmetry group of the Lam ́e’s system are considered. Namely, three classes of solutions are presented: a) solutions given by Jacobi elliptic functions, that correspond to a new class of conformally flat hypersurfaces; b) solutions given by hyperbolic functions, that correspond to conformally flat hypersurfaces generated by helicoidal flat surfaces in the hyperbolic three space; c) solutions given by trigonometric functions, that correspond to conformally flat hypersurfaces generated by helicoidal flat surfaces in the standard three sphere. For such helicoidal flat surfaces, a classification is given in terms of their first and second fundamental forms for special parametrizations.

In the work of Ammann, Dahl and Humbert it has turned out that the Yamabe invariant on closed manifolds is a bordism invariant below a certain threshold constant. A similar result holds for a spinorial analogon. These threshold constants are characterized through Yamabe-type equations on products of spheres with rescaled hyperbolic spaces. We give variational characterizations of these threshold constants, and our investigations lead to an explicit positive lower bound for the spinorial threshold constants. This is joint work with Bernd Ammann, arXiv:1502.05232.

On s’intéressera d’abord à  différents modèles aléatoires de surfaces de Riemann compactes (ou de volume fini), en particulier à  leurs propriétés géométriques quand le genre tend vers l’infini. Ceci servira aussi de motivation pour introduire des modèles aléatoires de surfaces pointées de type infini.

Guillemin calls a compact Lorentzian $3$-manifold « Zollfrei » if the geodesics flow on the nonzero lightlike vectors induces a fibration by circles (especially all lightlike geodesics are closed). He conjectured that these metric can only exist on $3$-manifolds covered by $S^2times S^1$. I will explain counterexamples on every nontrivial circle bundle over a closed surface. If time permits I will discuss what additional assumptions imply the conjecture and hint at what is the right conjecture in the general case.

We prove that complete submanifolds, on which the Omori-Yau weak maximum principle for the Hessian holds, with low codimension and bounded by cylinders of small radius must have points rich in large positive extrinsic curvature. The lower the codimension is, the richer such points are. The smaller the radius is, the larger such curvatures are. This work unifies and generalizes several previous results on submanifolds with nonpositive extrinsic curvature. Joint work with S. Canevari and F. Manfio.

Travail en commun avec Fida El Chami, Georges Habib et Roger Nakad. En nous basant sur des résultats d’Oussama Hijazi, Sebastià¡n Montiel et Simon Raulot, nous montrerons que, sous certaines hypothèses de courbure, une variété compacte à  bord feuilleté est nécessairement un produit riemannien, au moins localement.

Depuis le début du 20ème siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie de groupe : groupes de Burnside libre, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D’un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d’espaces un tel groupe peut agir « raisonnablement » par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d’une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Le flot géodésique sur les variétés riemanniennes est un système dynamique d’origine purement géométrique ; cependant relier ses propriétés dynamique à  la géométrie de la variété sous-jacente n’est pas toujours facile. Les travaux de Katok et de Besson-Courtois-Gallot ont montré que pour les variétés compactes à  courbure sectionnelle négative, les variétés localement symétriques correspondent exactement aux extrema de l’entropie. Qu’en est-il pour le flot sur des variétés qui n’admettent pas de structure localement symétrique ? Pour des variétés non-compactes ? Après avoir rappelé l’historique de ce problème, nous présenterons une réponse partielle à  ces questions : dans chaque classe conforme de métrique, les extrema de l’entropie correspondent à  des métriques à  courbure scalaire constante.

On s’intéresse à  classifier les variétés de dimension trois qui admettent une uniformisation CR sphérique, c’est-à -dire qui apparaissent comme le bord à  l’infini de surfaces hyperboliques complexes. J’expliquerai des constructions géométriques explicites qui montrent qu’une infinité de variétés hyperboliques réelles admettent une uniformisation CR sphérique.

This talk will describe various examples of surface groups in SO(4,1) in terms of fundamental domain of its action on S^3. This includes the first examples by Gromov-Lawson-Thurston, and new examples. We will also look at the quotient 3 manifolds which are circle bundles over closed surfaces and a proof of a soft bound on the Euler number of such circle bundles.

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

In a joint work with Mikaela Pilca (University of Regensburg-Germany), we establish a lower bound for the first eigenvalue of the Spin$^c$ Dirac operator defined on a Kähler-Einstein manifold $M$ of positive scalar curvature. This lower bound involves the index of $M$, its scalar curvature and an integer defining the Spin$^c$ structure. The limiting case is characterized by the existence of special spinor fields called Kählerian Killing spinors. As a geometric application of the limiting case, we prove that the only harmonic complex forms of type $(k, k)$ ($k>0$) on Kähler-Einstein manifolds admitting a complex contact structure are the constant multiples of the Kähler form.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.

Soit G un graphe plongé dans la sphère. Quand est-ce que G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans un hyperboloide à  une nappe ? On montrera que c’est le cas si et seulement si G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans la sphère et qu’il a un cycle hamiltonien. La preuve repose sur la description des angles dièdres des polyèdres idéaux dans l’espace anti-de Sitter. Un résultat analogue s’applique aux polyèdres inscrits dans un cylindre, en relation avec une géométrie « transitionnelle » entre hyperbolique et anti-de Sitter. Travail en commun avec Jeff Danciger et Sara Maloni.