Formalisme thermodynamique à basse température, dynamique symbolique et quasi-cristaux

L’étude de modèles simples de physique statistique sur le réseau $\mathbb{Z}^d$, visant à comprendre la transition du désordre vers un ordre périodique ou quasi-périodique quand la température est suffisamment basse, nécessite une interconnexion entre le formalisme des mesures de Gibbs et des états d’équilibre, la dynamique symbolique multidimensionnelle, les pavages et l’informatique théorique. En particulier, des espaces associés aux marginales finies-dimensionnelles des mesures invariantes par décalage apparaissent et possèdent une étonnante richesse. Cet exposé se propose de présenter un panorama introductif de ce domaine de recherche.

Variétés de Fano avec un lieu de base anticanonique

La décomposition de Hodge classique affirme que sur une variété compacte, toute forme différentielle lisse peut s’écrire comme somme d’une forme exacte, d’une forme co-exacte et d’une forme harmonique (pour le Laplacien de Hodge). Associée à cette décomposition il y a 3 projecteurs orthogonaux (projecteurs de Hodge). On s’intéresse à la généralisation de cette décomposition au cas d’une variété complète, non-compacte. Dans ce cas, les formes dans la décomposition sont supposées avoir une intégrabilité Lp, où 1<p<+\infty. Le problème est alors équivalent à montrer que les projecteurs de Hodge sont bornés sur Lp. On donnera une réponse complète à ce problème dans le cadre de variété asymptotiquement localement euclidiennes (ALE). C’est un travail en collaboration avec K. Kröncke (KTH Stockholm).

Support cohomologique des modules basculants pour les groupes algébriques réductifs

Il est connu depuis les années 1970 que de nombreuses informations concernant la théorie des représentations des groupes algébriques réductifs sur des corps de caractéristique positive peuvent s’exprimer en terme de la combinatoire du groupe de Weyl affine associé. Une forme subtile de cette relation a été conjecturée par Humphreys dans les années 1990, qui exprime le support cohomologique des représentations basculantes indécomposables en termes d’orbites nilpotentes associées aux cellules de Kazhdan-Lusztig bilatères (via une bijection de Lusztig). Dans cet exposé je présenterai des résultats obtenus en direction de cette conjecture, en collaboration avec Pramod Achar et William Hardesty.

Un espace métrique est dit injectif lorsque toute famille de boules s’intersectant deux à deux s’intersecte globalement. Nous montrerons en quoi cette définition simple est riche de conséquences typiques de la courbure négative. De plus, nous présenterons de nombreux groupes ayant une action par isométries intéressante sur un tel espace : les groupes hyperboliques, les groupes de tresses, les groupes linéaires…

La méthode conforme et ses variantes sont les principaux outils pour résoudre les équations de contrainte d’Einstein et ont été très fructueuses dans la construction de grandes familles de données initiales. Cependant, contrairement à ce que son nom suggère, cette méthode n’est pas covariante conforme. Je vais clarifier ce point en exposant un exemple explicite montrant qu’elle ne peut en aucun cas être covariante et j’expliquerai exactement pourquoi un tel échec est un problème.

Une surface à bord (ici le disque) est minimale à bord libre dans une surface $S$ de $R^3$ si c’est une surface minimale qui rencontre S orthogonalement le long du bord. Bien sûr, les disques équatoriaux, qui sont plans, satisfont cette propriété sur les ellipsoïdes. Nous montrons l’existence de disques non plans minimaux à bord libre plongés dans des ellipsoïdes $R^3$. C’est une réponse à une question posée par Dierkes, Hildebrandt, Küster et Wohlrab en 1992. Le résultat est comparable à la réponse récente d’une question de Yau en 1987 par Haslhofer et Ketover en 2019 : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans des ellipsoïdes de $R^4$ suffisamment allongés. 

Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions minimales d’une surface à bords dans des ellipsoïdes comme objets critiques de fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d’une métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par maximisation de combinaisons linéaires de la première et seconde valeur propre de Steklov bien choisies parmi les métriques du disque à périmètre fixé. Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés par cette méthode.

Métriques kählériennes canoniques et éclatements

L’existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc…) dans une classe de cohomologie donnée d’une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d’Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu’elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j’expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d’Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.

Une surface presque-fuchsienne est une surface minimale dans une variété hyperbolique, dont la seconde forme fondamentale est majorée par 1. Dans ce cas, elle est plongée et on peut identifier la variété hyperbolique ambiante avec le fibré normal à notre surface. Cela amène à l’étude des représentations presque-fuchsiennes de groupes de surfaces dans Isom(ℍn)\mathrm{Isom}(\mathbb H^n), qui admettent un disque presque-fuchsien équivariant. On discutera d’abord du cas de Isom(ℍ3)\mathrm{Isom}(\mathbb H^3), dans lequel les représentations presque-fuchsienne forment un voisinage connexe de l’ensemble des représentations fuchsiennes, et ensuite nous verrons un exemple dans ℍ4\mathbb H^4, pour lequel la variété hyperbolique quotient est un fibré en disques de degré 1 sur une surface.

Je parlerai d’un travail en cours avec Romain Petrides de l’Université Paris Cité dans lequel nous proposons un cadre général permettant de déduire de façon systématique les propriétés géométriques de métriques critiques de fonctionnelles spectrales définies sur une variété compacte lisse donnée. Notre approche permet notamment d’étendre les travaux de Nadirashvili, El Soufi, Ilias, Petrides sur la maximisation des valeurs propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami et ceux de Fraser, Schoen et Petrides sur les valeurs propres de Steklov. Nous utilisons de façon cruciale les outils d’analyse non-lisse développé par Clarke dans les années 1970. Je présenterai ces outils et expliquerai comment on les adapte au contexte des métriques critiques de fonctionnelles spectrales.

Mondino-Nguyen ont montré en 2018 que l’énergie de Willmore est essentiellement la seule fonctionnelle, définit pour des surfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 3, qui soit invariante par transformations conformes. Motivés par la correspondance AdS/CFT, diverses généralisations des surfaces de Willmore ont été étudiées pour des hypersurfaces fermées de l’espace euclidien de dimension 5. Cependant, le nombre de fonctionnelles invariantes conformes pour des variétés de dimension 4 est beaucoup plus important qu’en dimension 2. En particulier, cette diversité complique le choix d’une généralisation convenable.

En dimension 2, la dualité de Bryant est un outil important de l’étude des surfaces de Willmore. Elle permet d’exhiber une quartique holomorphe, de classifier les sphères Willmore, de construire l’équivalent des données d’Enneper-Weierstrass pour les surfaces minimales… Dans cette présentation, nous verrons qu’une généralisation de cette dualité en dimension 4 permet de mettre en exergue deux fonctionnelles invariantes conformes.

The Steklov eigenvalue problem is an eigenvalue problem for an operator which is defined in the boundary of a domain. Since the operator is nonlocal, the eigenvalues depend on both the geometries of the interior and the boundary of the domain. In this talk, we consider the Steklov-Dirichlet eigenvalue problem in eccentric annuli and related problems. We obtain a lower bound of the first Steklov-Dirichlet eigenvalues of the eccentric annuli by analyzing the first eigenvalues if the distance between the boundary components are sufficiently close. This is based on joint work with Jiho Hong and Mikyoung Lim.