Chemical reactions network inside cells have been extensively studied in order to better understand various biological phenomena. The majority of experimental studies are performed with cells that are part of a growing population. This population context is rarely taken into account even if selection between cells (due for example to growth) takes places within the studied system.
In this talk, I will represent such systems as continuous-time Markov chains. The measure-valued Markov process of the cell population will take into account the chemical reactions inside the cells as well as reactions between cells. By conditioning on non-absorption, we derive an equation for the expected population distribution within a growing population.
This extension of the Chemical Master Equation provides us a new framework to study cell population dynamics. I will present theoretical results on long-term behaviour of the population (stationary distribution, growth rate of the population) and an application of this framework to experimental data.

The increasing availability of temporal and geo-coded data underscores the importance of spatio-temporal statistical modelling in tackling complex issues across various real-world settings. In the first part of this talk, we will briefly showcase novel spatio-temporal statistical methods developed to model various types of data defined both in space and time (e.g., time-series, point patterns, lattice data, geostatistical data, etc.), with a focus on applications in environmental and public health domains. In the second part, we will (I) delve into the modelling of trajectory (or path) data and (II) explore the details of a statistical method for addressing spatially varying preferential sampling when modelling geostatistical data. Specifically, we will account for preferential sampling by including a spatially varying coefficient that describes the dependence strength between the process that models the sampling locations and the corresponding latent field. We achieve this by approximating the preferentiality component with a set of basis functions, with the corresponding coefficients estimated using the integrated nested Laplace approximation (INLA) method. This approach allows for efficient inference with a low computation burden.

The push-forward operation enables one to redistribute a probability measure through a deterministic map. It plays a key role in statistics and optimization: many learning problems (notably from optimal transport, generative modeling, and algorithmic fairness) include constraints or penalties framed as push-forward conditions on the model. However, the literature lacks general theoretical insights on the (non)convexity of such constraints and its consequences on the associated learning problems. The presented work aims at filling this gap. In a first part, we provide a range of sufficient and necessary conditions for the (non)convexity of two sets of functions: the maps transporting one probability measure to another; the maps inducing equal output distributions across distinct probability measures. This highlights that for most probability measures, these push-forward constraints are not convex. In a second time, we show how this result implies critical limitations on the design of convex optimization problems for learning generative models or group-fair predictors. This work will hopefully help researchers and practitioners have a better understanding of the critical impact of push-forward conditions onto convexity.

On s’intéresse à l’étude de couplages des mouvements browniens sous-elliptiques sur plusieurs variétés sous-riemaniennes: les groupes de Carnot libres d’ordre 2, incluant le groupe d’Heisenberg, ainsi que les groupes de matrices $SU(2)$ et $SL(2,\mathbb{R})$. Après une rapide introduction aux structures sous-Riemannienne, nous proposerons plusieurs méthodes explicites de couplages markoviens ou non markoviens. En particulier ces constructions mènent à des estimées du taux de couplage dont on déduit des inégalités pour le semi-groupe de la chaleur et pour les fonctions harmoniques que nous expliciterons.

Pour finir nous présenterons un nouveau modèle de couplage non markovien « en un coup » sur tous les groupes de Carnot libres de profondeur 2. Il permet notamment d’obtenir des relations similaires à la formule de Bismut-Elworthy-Li pour les gradients de semi-groupes via l’étude d’un changement de probabilité sur l’espace des vecteurs Gaussiens.

On considère un problème de contrôle consistant à trouver une trajectoire reliant un point initial x à un point cible y, le système se déplaçant uniquement dans certaines directions admissibles. On suppose que les champs de vecteurs correspondants satisfont la condition de Hörmander, de telle sorte que par un théorème classique (Chow-Rashevskii), il existe des trajectoires qui satisfont cette contrainte. Une manière naturelle d’essayer de résoudre ce problème est via un flot de gradient sur l’espace des contrôles. Cependant, la dynamique correspondante peut avoir des point-selles, et pour obtenir un résultat de convergence il faut donc faire des hypothèses (par exemple probabilistes) sur la condition initiale. Dans ce travail, nous considérons le cas où cette initialisation est irrégulière, que nous formulons grâce à la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons. Dans des cas simples, on prouve que le flot de gradient converge vers une solution, si la condition initiale est une trajectoire d’un mouvement Brownien (ou d’un processus de régularité plus faible). La preuve combine des idées de calcul de Malliavin avec des inégalités de Łojasiewicz. Une motivation possible pour nos travaux vient de l’entraînement de réseaux de neurones résiduels profonds, dans un régime où le nombre de paramètres par couche est fixé, et la dimension du vecteur de données est élevée. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Florin Suciu (Paris Dauphine).

jeudi 19 septembre, 10:45 réunion de rentrée de l’équipe PS

du jeudi 19 septembre, 16:00, au vendredi 20, 11:30 : L² Workshop in Probability and Statistics à Nancy, plus d’infos

We study the problem of simultaneously testing that each of k independent samples come from a normal population. The means and variances of those populations may differ. The proposed procedures are based on the BHEP test and they allow k to increase, which can be even larger than the sample sizes.

Most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality (CoD) in the sense that the number of computational operations and/or the number of parameters employed in the corresponding approximation scheme grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of the desired approximation precision. In recent years, certain deep learning-based approximation methods for PDEs have been proposed and various numerical simulations for such methods suggest that they might have the capacity to indeed overcome the CoD in the sense that the number of real parameters used to describe the approximating neural networks grows at most polynomially in both the PDE dimension and the reciprocal of the prescribed approximation accuracy. In this talk, I will show some theoretical results which state that this is indeed the case for suitable Kolmogorov PDEs.

L’objectif de cet exposé est de montrer comment se comportent certains types de modèles de graphes en particulier des modèles de graphes à motifs exclus. Pour cela nous introduirons la décomposition modulaire, un outil relativement connu en algorithmique, mais dont l’étude d’un point de vue probabiliste a commencé très récemment. Nous verrons alors comment pour une large classe de modèles définies par diverses contraintes sur la décomposition modulaire, on arrive à connaître la densité de chaque graphe comme sous-graphe induit. Ce résultat implique une convergence au sens des « graphons » qui peut être vue comme une sorte de convergence des matrices d’adjacences. On a la convergence d’un graphe de taille n vers un graphe « continu » qui est appelé cographon Brownien et peut être construit à partir d’une excursion Brownienne.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents pour le processus d’exclusion facilité en une dimension.
Ce modèle de gaz sur réseau stochastique est soumis à de fortes contraintes cinétiques qui créent une transition de phase continue vers un état absorbant à une valeur critique de la densité des particules. Si la dynamique microscopique est symétrique, son comportement macroscopique (avec conditions aux limites périodiques et dans l’échelle de temps diffusive), est régi par une EDP non linéaire appartenant aux problèmes à frontières libres (ou problèmes de Stefan). L’un des ingrédients majeurs est de montrer que le système atteint la composante « ergodique » en un temps sous-diffusif. Dans le cas asymétrique, la densité empirique converge vers l’unique solution entropique d’un problème hyperbolique de Stefan. Tous ces résultats reposent, dans une certaine mesure, sur un argument de mapping avec un processus de type zero-range, qui ne peut pas être utilisé en dimension plus grande que 1.
D’après des travaux en collaboration avec O. Blondel, H. Da Cunha, C. Erignoux, M. Sasada et L. Zhao.

Pour un graphe connexe donné muni de poids distincts sur les arêtes, il existe un unique arbre couvrant dont la somme des poids des arêtes est minimale: on l’appelle l’arbre couvrant minimal. On s’intéresse aux propriétés asymptotiques, pour n grand, de l’arbre couvrant minimal défini à partir du graphe complet à n sommets muni de poids i.i.d. sur les arêtes.
Un résultat de convergence locale nous décrit la structure de cet objet autour d’un point typique à l’aide d’un arbre discret infini. Dans un travail avec Omer Angel, nous montrons que cet arbre infini admet une limite d’échelle: lorsqu’on fait tendre les longueurs des arêtes de cet arbre vers 0, on voit apparaître un arbre continu, dont on peut donner une construction explicite.
Je présenterai les objets mentionnés et expliquerai les grandes lignes de la preuve de la convergence du discret vers le continu.

This paper delves into a challenging  problem of nonparametric estimation for the interaction function within diffusion-type particle system models. We introduce two estimation methods based upon an empirical risk minimization. Our study encompasses an analysis of the stochastic and approximation errors associated with both procedures, along with an examination of certain minimax lower bounds. In particular, for the first method we show that there is a natural metric under which the corresponding estimation error of the interaction function converges to zero with parametric rate which is minimax optimal. This result is rather surprising given the complexity of the underlying estimation problem and rather large class of interaction functions for which the above parametric rate holds.

L’apprentissage par transfert (transfert learning) vise à réutiliser les connaissances d’un ensemble de données source vers un ensemble de données cible similaire. Alors que plusieurs études abordent le problème de quoi ou comment transférer, la question très importante de quand le faire reste principalement sans réponse, surtout d’un point de vue théorique pour les problèmes de régression.
Dans l’exposé je présenterai le cadre général de l’apprentissage par transfert. Puis, je détaillerai un nouveau cadre théorique pour le problème du transfert de paramètres pour le modèle linéaire… Il est démontré que la qualité du transfert pour un nouveau vecteur d’entrée dépend de sa représentation dans une base propre impliquant les paramètres du problème. De plus, un test statistique est construit pour prédire si un modèle affiné (fine tuned) a un risque quadratique de prédiction inférieur au modèle cible de base pour un échantillon non observé. L’efficacité du test est illustrée sur des données synthétiques ainsi que des données réelles de consommation d’électricité.

David Obst, Badih Ghattas, Sandra Claudel, Jairo Cugliari, Yannig Goude, Georges Oppenheim,
Improved linear regression prediction by transfer learning, CSDA (2022)

Dans cet exposé, on s’intéresse à un certain type de champ aléatoire: le champ de Brown-Resnick. La loi de ce dernier est décrite par deux paramètres: l’un d’échelle, l’autre de Hurst. On suppose que le champ est observé dans une fenêtre fixée en un nombre fini de sites. Les sites sont donnés par la réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Estimer les paramètres par maximum de vraisemblance est en pratique impossible car les lois fini-dimensionnelles ne peuvent être calculées de façon efficace. Pour y remédier, nous considérons les estimateurs par maximum de vraisemblance composite en retenant comme pairs les pairs de points qui sont voisins dans la triangulation de Delaunay sous-jacent et comme triplets les triplets qui sont sommets d’un triangle de Delaunay. Les résultats sont des théorèmes limites sur ces estimateurs, lorsque l’intensité du processus de Poison tend vers l’infini. Travail joint avec Christian Y. Robert.

La transition de phase associée à un modèle de percolation peut être quantifiée à l’aide d’un certain nombre de constantes, appelées exposants critiques, qui décrivent la vitesse à laquelle certaines quantités décroissent au voisinage du point critique. J’expliquerai comment calculer certains de ces exposants critiques quand le modèle de percolation est le champ libre gaussien sur le système de câbles en dimension trois ou quatre.

The systems of forward-backward stochastic differential equations driven by Brownian motion (FBSDEs for short) help us to model diffusion processes related to phenomena that involve environment perturbations. The drift coefficients constitute the descriptive part of a non-random ambient, while the Wiener processes permit us to describe the random perturbations involved into the dynamics through the diffusion terms. The systems of FBSDEs motion are linked to the nonlinear partial differential equations (PDEs) through the Feyman-Kac formulae. Therefore, the deterministic solutions can be obtained by probabilistic representations involving the stochastic processes that solve the FBSDEs.

During this talk, we deal with the numerical simulation of systems of stochastic particles ruled by FBSDEs associated with nonlinear PDEs appearing in fluid dynamics. To make this, we discretize locally in time the stochastic equations, and then we consider integration schemes of Euler-Maruyama type, together with the optimal quantization of the involved Wiener increments as an alternative to the Monte-Carlo simulation. Then we approximate the related conditional expectations over each temporal-spatial node of a computational domain with uniform discretization steps in time and space. Numerical results are presented to the case of analytic spatially-periodic exact solutions of the incompressible Navier-Stokes equations, in particular, a two-dimensional Taylor-Green vortex and three-dimensional Beltrami flows, for example an Arnold-Beltrami-Childress flow. The simulation algorithms follow from a completely probabilistic approach.

Cylindrical distributions are joint distributions of a circular variable and a linear variable, where the circular variable affects the linear variable. In this paper, we consider a class of cylindrical distributions based on the normal distribution, which have normal and angular conditional and marginal distributions. The distribution based on the normal distribution has the advantages of easy random number generation and simple Fisher information matrix. We also consider a regression model using the cylindrical distribution. Examples of estimation will be given for real data, and a new methodology of data analysis using the cylinder model will be given. Furthermore, we also discuss some potential extensions of the cylindrical distribution.

La compréhension de l’auto-organisation d’un système, c’est-à-dire sa capacité à faire émerger des comportements collectifs sans intervention extérieure, est à la base du développement de nombreux domaines scientifiques, aussi bien en physique, en informatique, en mathématiques, en biologie ou en sociologie. Au sein de ce domaine se trouve l’étude des modèles de consensus, permettant de décrire comment des agents s’échangent de l’information afin d’aboutir à une décision commune. Dans cet exposé, nous aborderons un modèle de consensus largement étudié dans la littérature : le modèle de Cucker-Smale. Ce dernier décrit des individus qui se déplacent dans l’espace et qui s’alignent les uns sur les autres. Il suppose que la force avec laquelle les individus s’alignent entre eux dépend à la fois de la distance qui les sépare et d’un paramètres A(i,j) qui décrit intrinsèquement comment un individu i s’aligne sur un individu j. L’une des questions principales est la détermination de conditions qui assurent que les individus tendent tous à se déplacer dans la même direction à la même vitesse, appelé phénomène de flocking dans ce contexte. En exploitant la dualité entre les équations de Cucker-Smale et les équations de Kolomogorov, nous prouvons que le flocking est équivalent à la convergence en variation total d’un certain processus de saut markovien inhomogène en temps.  Nous prouvons ensuite cette convergence en utilisant des techniques de type Doeblin, permettant de dériver de nouvelles conditions de flocking plus fines que celles connues pour ce modèle. Enfin, nous traiterons la question de l’apprentissage du paramètre A(i,j) à partir de données de déplacement d’animaux, permettant d’obtenir des informations sur la manière dont ceux-ci se comportent socialement les uns avec les autres.