Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

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Je présenterai un projet à  relativement long terme, qui consiste à  jeter les bases d’un calcul différentiel et de la géométrie différentielle, sur des corps et anneaux de base (presque) quelconques. Un abrégé de ce projet, sous le titre Lie Calculus, voir https://arxiv.org/abs/1702.08282 , est à  paraître dans volume 113 des Banach Center Publications. Deux aspects-clé de cette approche sont : l’utilisation de groupoïdes supérieurs (doubles, triples,…), et d’extensions de scalaires (comme les nombres duaux, et d’autres anneaux qui ne sont pas des corps). Comme il ne sera pas possible d’expliquer des détails de tout cela en une heure, j’essaierai de donner un survol, en mettant en relief des aspects qui pourraient être en lien avec des sujets de recherche présents dans notre équipe.

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Je revois d’abord des résultats sur les isomorphismes d’algèbres de groupes, isométriques (notamment le théorème de Wendel sur $L^1$) et presque isométriques (Kalton et Wood). Ces résultats ont leur analogues duaux pour les algèbres de Fourier et de Fourier-Stieltjes, y compris mon travail en commun avec Jean Roydor (Bordeaux). Ensuite je parlerai des isomorphismes d’algèbres $L^p$ à  poids, d’après un travail commun avec Safoura Zadeh (Varsovie). Il paraît que tout isomorphisme isométrique ou bipositif de ces algèbres a une forme canonique qui s’exprime par un isomorphisme des groupes en question. Pour des isomorphismes presque isométriques, on obtient des résultats dans certains cas classiques, en appliquant la théorie d’opérateurs de composition sur des espaces de fonctions analytiques.

Résumé

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