Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

J.-H. Lambert (Mulhouse 1728 – Berlin 1777) est un des fondateurs de la géométrie non euclidienne. Il a aussi découvert une propriété étrange et utile du mouvement képlérien dans un espace euclidien. Le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction Newtonienne d’une masse située en un point fixe O, ne varie pas si l’on déplace continà»ment A et B de telle sorte que la distance AB et la somme OA+OB restent constantes. P. Serret (1827–1898) et W. Killing (1847–1923) ont introduit le problème de Kepler sur les espaces à  courbure constante et ont donné une liste impressionnante d’analogies avec le problème de Kepler habituel. Ici nous complétons cette liste en démontrant que le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction d’une masse située en un point fixe O de l’espace courbe, avec une énergie donnée, ne varie pas quand on déplace A et B de telle sorte que d(A,B) et d(O,A)+d(O,B) restent constants, o๠d désigne la distance géodésique. Nous discuterons aussi le cas des espaces pseudo-riemanniens à  courbure constante. Nous utilisons essentiellement les formules bien connues du calcul variationnel que Hamilton a introduites en 1834, et une propriété simple du vecteur excentricité. Ce travail est en collaboration avec Zhao Lei, de l’Université d’Augsbourg.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

In joint work with Yves Benoist, we study the action of the affine group $G$ of $mathbb{R}^d$ on the affine Grassmannian $X_{k,, d}$, that is, the set of affine $k$-spaces in $mathbb{R}^d$. When $G$ is endowed with a Zariski-dense probability measure, we give a criterion for the existence of an invariant probability measure. Such a measure, if it exists, is unique.

An identity that relates the Fourier transform of a complex power of homogeneous polynomial functions on a real vector space with a complex power of homogenous polynomial functions on the dual vector space is called a local functional equation. A rich source of polynomials satisfying local functional equations is the theory of prehomogeneous vector spaces. Almost all known examples of local functional equations are of this type. However recently local functional equations of non- prehomogeneous type are found. In this talk we present new examples of non-prehomogeneous polynomials satisfying a local functional equation. More precisely we prove a local functional equation for the polarization of an arbitrary homaloidal polynomial, and calculate the associated b-function identities explicitly.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

L’exposé présentera d’abord les notions d’espaces vectoriels et de variétés multisymplectiques, ainsi que les notions de sous-variétés isotropes et lagrangiennes. Nous nous pencherons ensuite plus précisément sur ces dernières, notamment à  travers d’exemples. Enfin, un théorème de Geoffrey Martin sera présenté, généralisation du théorème de Darboux-Moser-Weinstein pour les variétés multisymplectiques dites « standards ». Nous donnerons une ébauche de la démonstration dans l’exposé principal (14h15-15h15). Les détails de la démonstration seront presentés dans la suite de l’exposé, après la pause.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Dans l’exposé on introduira les mesures cylindriques de Wigner, équivalents classiques des états quantiques « semiclassiques » dans les théories des champs bosoniques. On développera l’analyse semiclassique nécessaire d’un point de vue algébrique, et on obtiendra ainsi des résultats indépendants de la représentation des relations de commutations canoniques. On appliquera les résultats à  des théories relativistes d’intérêt physique ; en particulier on pourra étudier, entre autres, les effets de la covariance et de la causalité sur les mesures classiques.