Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

A Lie algebra with a non-degenerate invariant symmetric bilinear form will be called a nis-Lie algebra. The double extension of a Lie (super)algebra with a homogenous non-degenerate symmetric invariant bilinear form is the result of simultaneously adding to it a central element and an outer derivation so that the larger algebra is also nis. We consider double extensions of Lie superalgebras in characteristic 2, and concentrate on peculiarities of these notions related with the possibility for the bilinear form and the derivation to be odd. Two Lie superalgebras have been discovered by this method indigenous to the characteristic 2 case.

La première partie de l’exposé consiste à  rappeler le Théorème de Mà¼ntz-Szà¡sz sur la droite réelle, lié à  l’approximation des fonctions continues sur un intervalle par des fonctions polynomiales. Ensuite je vais définir un analogue à  ce théorème dans le cadre de certaines extensions compactes de groupes de Lie nilpotents.

Je commencerai par quelques mots sur l’espace des idéaux primitifs d’une C*-algèbre. Puis, j’introduirai différentes familles de morphismes utiles pour caractériser le spectre des éléments d’une C*-algèbre, en particulier les familles exhaustives. Lorsqu’on veut montrer qu’une famille de morphismes est exhaustive, il est nécessaire de bien connaitre l’espace des idéaux primitifs. En m’appuyant sur les résultats de Williams, je donnerai une description de l’espace des idéaux primitifs lorsque la C*-algèbre est issue d’un produit croisé pour lequel le C* système dynamique associé a de bonnes propriétés topologiques. Grâce à  cette description, on peut construire facilement une famille exhaustive.

In this talk, I first review the method of layer potentials, with the emphasis on the double layer potential operator (also called Neumann-Poincar ́e operator) associated to the Laplace operator and a domain. Then I show that layer potential groupoids for conical domains constructed in an earlier paper (Carvalho-Qiao, Central European J. Math., 2013) are Fredholm groupoids, which enables us to deal with many analysis problems on singular spaces in a unified treatment. As an application, we obtain Fredholm criteria for operators on layer potential groupoids. This is joint with Catarina Carvalho.

In this talk I will present some recent results for the resolvent norm of linear operators and their implication for the pseudospectrum of matrices. In the presentation I restrict myself to matrices, even though most statements also hold, at least locally, for a certain class of closed linear operators on a separable Hilbert space. As the main theorem we have that for any point in the resolvent set there are directions in which the norm grows at least quadratically in the distance from this point. Besides others this directly implies the well-known fact that level sets of the resolvent norm cannot have interior points. Moreover, I will show how the main theorem can be used to construct a finite polygonal contour inside the pseudospectrum linking a given arbitrary point in the pseudospectrum to an eigenvalue of the matrix. This talk is based on joint work with H. Cornean, H. Garde and A. Jensen.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés « singulières ». Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.

La première partie de cet exposé constituera une introduction aux groupoïdes, en particulier ceux possédant une structure lisse : les groupoïdes de Lie. Nous verrons comment ceux-ci apparaissent naturellement dans l’étude des équations différentielles sur des variétés « singulières ». Je présenterai notamment l’exemple d’une variété possédant une singularité conique isolée, ainsi que le groupoïde qui lui est associé.