Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

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Supermanifolds are a generalisation of ordinary manifolds that incorporates anti-commutative coordinates. Within the various equivalent definitions of supermanifolds, the so-called categorical approach is best equipped to deal with infinite-dimensional situations. Despite this, it has remained relatively obscure, in part due to its high level of abstraction. We present an introduction that is as close as possible to ordinary differential geometry. The theory of Lie supergroups can then be understood in terms of ordinary Lie groups. We give some important structural results for Lie supergroups, including the equivalence to super Harish-Chandra pairs for arbitrary locally convex Lie supergroups.

Les groupoïdes de Lie sont des objets qui font le lien entre les variétés différentiables et les groupes de Lie, qui en sont des cas particuliers. Nous allons décrire la structure de Poisson sur le dual de l’algébroïde de Lie d’un groupoïde de Lie G, et formuler une conjecture de type Kirillov reliant l’espace des feuilles symplectiques de cette variété de Poisson avec les représentations unitaires de la C^*-algèbre de G. Nous illustrerons ce principe à  l’aide de quelques exemples.

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L’étude des feuilletages singuliers subit un regain d’intérêt ces dernières années. Cela est en partie dà» aux résultats récents de Lavau/Laurent-Gengoux/Strobl (L-L-G-S) qui ont permis d’utiliser les algébroïdes de Lie à  homotopie près pour étudier de tels feuilletages. Le but de cet exposé est de présenter un travail en commun avec Rigel Juarez qui permet de retrouver des résultats du type de ceux de L-L-G-S comme un corollaire à  l’existence d’une structure de catégorie de semi-modèles sur la catégorie des algèbres de Lie-Rinehart à  homotopie près.

Depuis 1980, il est un problème ouvert de donner des formules cohomologiques pour l’indice basique d’un opérateur différentiel basique transversalement elliptique sur un fibré vectoriel au dessus d’une variété feuilletée. Dans les années 1990, El Kacimi-Alaoui a proprosé d’utiliser la théorie de Molino pour étudier cette indice. Molino a montré qu’à  tout feuilletage Riemannien transversalement orienté, nous pouvons associer une variété, appelée variété basique, qui est munie d’une action du groupe orthogonal, El Kacimi-Alaoui a montré comment associer à  l’opérateur basique transversalement elliptique un opérateur sur un fibré vectoriel, appelé fibré utile, au dessus de la variété basique. L’idée est d’obtenir la formule cohomologique espérée à  partir des résultats sur l’opérateur sur le fibré utile. Ma thèse est une première étape dans cette direction. Avant tout, il nous faut trouver une hypothèse pour l’existence d’une connexion basique telle que le caractère de Chern basique est bien défini dans le cadre feuilleté. (Dit simplement, ‘‘basique » veut dire : respecter le feuilletage). C’est la première partie de ma thèse. Je vais l’expliquer en détail.

Je vais présenter une méthode qui réduit la détermination du spectre essentiel d’un opérateur engendré par une certaine algèbre de Lie de champs de vecteurs au calcul des spectres de certains opérateurs plus simples. Ce résultat généralise des résultats comme le théorème HVZ sur le spectre essentiel des opérateurs Hamiltoniens en mécanique quantique et des résultats de Melrose-Mendoza. Les opérateurs « plus simples » sont invariants par rapport à  certains groupes de Lie, donc leur étude se fait en utilisant des outils de l’analyse harmonique sur les groupes de Lie. Des résultats liés ont été obtenus par Debord, Côme, Lescure, Monthubert, Mougel, Prudhon, Skandalis et d’autres chercheurs.

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Cet exposé est la suite de celui du 17/01 sur le dernier article de Kasparov, « Elliptic and transversally elliptic index theory from the viewpoint of KK-theory ».

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