Résumé

Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

Nous introduisons une classe de pavages hyperboliques dérivant de substitutions. Nous commencerons par rappeler quelques notions autour des pavages puis nous introduirons les C*-algèbres de pavages hyperboliques. Nous terminerons enfin par présenter les générateurs de la K-théorie du pavage de Penrose hyperbolique provenant de la substitution de Fibonacci.

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Rencontre annuelle du groupe de recherche Géométrie Non Commutative: Cliquer sur le lien « Arxiv » pour plus de détails.

Cet exposé sera consacré à  une introduction à  la KK-théorie définie par Kasparov. Je commencerai par quelques rappels sur les modules de Hilbert. Je définirai ensuite la KK-théorie et je parlerai du produit de Kasparov en utilisant les connexions introduites par Connes et Skandalis. Si le temps le permet, je donnerai les définitions de deux généralisations de la KK-théorie dont nous aurons besoin par la suite.

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Je commencerai par rappeller la définition des groupoïdes de Fredholm (une classe de groupoïdes pour lesquels on a une bonne caractérisation des opérateurs de Fredholm dans le calcul pseudodifférentiel qu’il engendre). Le but de l’exposé est de montrer qu’un tel groupoïde peut être caractérisé par ses réductions: plus précisément, un groupoïde $G$ est Fredholm si, et seulement si, toutes ses réductions $G_U^U$ sur des ouverts $U$ sont des groupoïdes de Fredholm. Comme résultat intermédiaire intéressant, on verra qu’on peut écrire le spectre primitif d’un groupoïde comme l’union des spectres de ses réductions sur des ouverts.

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Dans ce travail en collaboration avec Guoliang Yu, nous définissons pour une famille d’espaces métriques finies des estimations quantitatives pour les applications d’assemblages. Nous relions ces estimations à  la conjecture de Novikov. En application, nous donnons une preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes à  complexité de décomposition finie.