Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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We study a specific Poincaré-Sobolev inequality in bounded domains, that has recently been used to prove a semi-classical bound on the kinetic energy of fermionic many-body states. The corresponding inequality in the entire space is precisely scale invariant and this gives rise to an interesting phenomenon. Optimizers exist for some (most ?) domains and do not exist for some other domains, at least for the isosceles triangle in two dimensions. In this talk, I will discuss bounds on the constant in the inequality and the proofs of existence and non-existence. This is joint work with Rafael Benguria and Cristà³bal Vallejos (PUC, Chile).

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Le théorème de Hohenberg-Kohn est un résultat fondamental de la mécanique quantique à  N corps, il prouve l’injectivité de l’application allant des champs électriques vers l’état du système quantique électronique ou nucléaire à  l’équilibre. Il justifie la Density functional theory, qui est la méthode la plus utilisée pour étudier pratiquement les systèmes électroniques à  l’échelle microscopique. Nous introduirons le contexte mathématique, puis le théorème, et nous montrerons en quoi sa preuve repose sur un résultat de continuation unique forte. Enfin, nous essaierons d’étendre le théorème à  des champs magnétiques, des potentiels non locaux, des interactions et des températures positives, ce qui soulève des questions mathématiques nouvelles d’unicité.

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