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Résumé

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Suivant les travaux de H. Oyono-Oyono et de G. Yu sur les espaces métriques, nous construisons des applications d’assemblage à  valeurs dans la $K$-théorie contrôlée de la $C^*$-algèbre réduite d’un groupoïde étale $G$ muni d’une longueur propre. Nous relions ensuite ces applications à  l’application d’assemblage de Baum-Connes pour $G$, ainsi que les conjectures associées.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/

In the representation theory of locally compact groups the one-to-one passage between unitary group representations and representations of the corresponding group $C^*$-algebra obtained from $L^1(G)$ is a key tool that makes the rich toolbox of $C^*$-algebraic techniques available in the group context. For infinite dimensional groups there is no Haar measure and therefore no $L^1$-algebra that can be used to obtain a universal $C^*$-algebra. However, under certain semiboundedness requirements on spectra, one can use analytic continuations to obtain $C^*$-algebras whose representation theory cover the so-called semibounded unitary representations of Lie groups. This technique can even be used to construct $C^*$-algebras whose representations are precisely the unitary representations of certain Lie supergroups. The CAR algebra of the canonical anticommutation relations is the most basic example.

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Ces deux heures d’exposé prendront la forme d’un mini-cours. Après des rappels sur la notion de front d’onde d’une distribution (due à  L. Hörmander), nous introduirons la notion de transversalité par rapport à  une submersion (due à  I. Androulidakis et G. Skandalis), et nous présenterons l’algèbre involutive des distributions à  support compact sur un groupoïde de Lie $G$, transversales par rapport à  la source et au but. Les opérateurs invariants à  gauche sur le groupoïde ($G$-opérateurs) admettant un adjoint sont ceux donnés par la convolution à  droite par une distribution bi-transversale. Nous introduirons la sous-algèbre involutive des distributions à  support compact dont le front d’onde est bi-transversal. Le front d’onde du produit de convolution de deux distributions dans cette algèbre est alors essentiellement donné par le produit des deux fronts d’ondes dans le groupoïde symplectique $T^*G$ de Coste-Dazord-Weinstein, que nous présenterons également.