Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/

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Nous donnerons une construction de pavages de type Penrose dans le cas hyperbolique utilisant les pavages par substitutions classiques. Nous expliciterons les objets que l’on peut associer à  ces pavages et les relierons aux objets classiques de la théorie des pavages par substitutions dans l’optique du calcul de la K-théorie associée à  cette construction.

http://www.iecn.u-nancy.fr/~nombres/Les-Seminaires/

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On a compact connected spin manifold the index theorem by Atiyah and Singer gives lower bounds for the dimension of the kernel of the Dirac operator. Metrics for which the lower bound is attained are called D-minimal. It is conjectured that generic metrics are D-minimal and that non-D-minimal metrics exist on any manifold of dimension at least 3. These conjectures go back to Hitchin’s article « Harmonic spinors » where first steps in this program were done, and they were clearly conjectured by C. Bär and M. Dahl. That D-minimal metrics are generic was proven by Bär, Dahl, Humbert and myself using Gromov-Lawson type surgery methods and bordism theory. The existence of non-D-minimal metrics in dimension at least 7 is current work with Bunke, Pilca and Nowaczyk and uses recent progress by Crowley and Schick about the topology of the space of metrics with positive scalar curvature.