Séminaires

titre : *Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants*

résumé : Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son
« sous-espace de Cartan » ou « tore déployé maximal » (sous-algèbre
abélienne diagonalisable sur les réels maximale). On peut alors
définir son groupe de Weyl restreint W, comme le quotient du
normalisateur de A par son centralisateur. (Je donnerai des
exemples concrets).

Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie rho de ce groupe (agissant sur un espace V). Alors W a une
action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de
V fixés par le normalisateur de A, appelé MA ou L.
Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le « mot
le plus long » w_0, qui envoie les racines (restreintes) positives sur
les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question
suivante : dans quels cas ce w_0 a-t-il une action non triviale sur
V^L ? (Cette question est motivée par une certaine question en
dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit
non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé,
la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à
la deuxième, qui est : « presque toutes ». Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.

Titre : Induites paraboliques du groupe p-adique G_2 distinguées par SO_4

Résumé : Après une brève introduction pour motiver l’étude des représentations distinguées, j’expliquerai comment la théorie de Mackey pour les groupes p-adiques nous permet d’identifier ce type de représentations et les spécificités du cas de l’étude du groupe exceptionnel G_2. Je présenterai une première description de certaines des représentations distinguées pour la paire (G_2, SO_4), et une nouvelle approche en cours pour obtenir une classification plus complète de ces représentations où la structure des octonions joue un rôle central.

Soit X une variété hyperbolique géométriquement fini, c-a-d, une variété hyperbolique avec un domaine fondamental de polyédrale fini. Il existe une mesure unique sur la fibre tangent unitaire invariante par le flot géodésique d’entropie maximal, et on considère son relevé dans le fibré des repères. Dans un travail commun avec Pratyush Sarkar et Wenyu Pan, on a démontré que le flot de repère est exponentiellement mélangeant par rapport à cette mesure. Pour établir le mélange exponentiel, on utilise un codage dénombrable de flot et une version de la méthode de Dolgopyat, à la Sarkar-Winter et Tsujii-Zhang. Pour surmonter les difficultés de la structure fractale, on a besoin de grand déviation pour la récurrence symbolique dans les grands ensembles.

Hyperbolicité en présence d’un grand système local

Serge Lang a proposé plusieurs conjectures influentes reliant différentes notions d’hyperbolicité pour les variétés algébriques complexes projectives. Par exemple, il a conjecturé que le lieu balayé par les courbes entières coïncide avec le lieu balayé par les sous-variétés qui ne sont pas de type général, du moins après avoir pris les fermetures de Zariski. J’expliquerai que certaines de ces conjectures (dont celle ci-dessus) sont vraies pour les variétés qui admettent un grand système local complexe au sens de Campana et Kollár (par exemple toute variété qui possède une variation de structures de Hodge mixtes dont l’application des périodes est finie).

Soit X une variété complexe proiective de dimension trois avec
bonnes singularités. Miyaoka a montré dans les années 1980 que si le
fibré canonique K_X est nef, alors un certain multiple de K_X est
effectif. Ceci est le théorème classique de non-annulation pour les
variétés minimales de dimension trois.
Dans cet exposé nous expliquerons des résultats analogues pour le fibré
anticanonique -K_X, ce qui correspondent au problème de non-annulation
pour les variétés à courbure semi-positive. Plus précisément, nous
montrerons que si -K_X est nef, alors la classe numérique de -K_X est
effective.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vladimir Lazić, Shin-ichi
Matsumura, Thomas Peternell and Nikolaos Tsakanikas.

Jean-François nous expliquera les inégalités « les moins difficiles » de Calegari-Marques-Neves qui relient le comptage des surfaces minimales et les invariants asymptotiques de la variété.