A fundamental result in Complex Geometry is the Kobayashi-Hitchin correspondence, stating that a holomorphic vector bundle on a Kähler manifold is poly-stable (as defined by Mumford, Takemoto) if and only if it admits a Hermitian metric solving the Hermite-Einstein equation. It has now become clear that there exist many possible different stability notions for vector bundles, that are of great interest in Algebraic Geometry and String Theory. It is natural to wonder if these stabilities are also tied to the existence of Hermitian metrics with special curvature properties. In this talk, based on joint work with Julien Keller (arXiv:2405.03312[math.DG]), we will consider a class of « polynomial » equations for the curvature of rank 2 holomorphic vector bundles on compact projective surfaces, and a corresponding class of polynomial stability conditions for these bundles. We will then explain how each of these stability conditions is related to the existence of a Hermitian metric satisfying the corresponding equation. This refines and partially confirms a conjectural correspondence between Bridgeland stability conditions and PDEs on holomorphic vector bundles, formulated by Dervan, McCarthy, and Sektnan.

Séminaire reporté en 2022-2023. Date précisée ultérieurement.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson en géométrie complexe relie l’existence de métriques de Kähler canoniques et la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Une version forte a été prouvée pour les métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano il y a presque dix ans, et elle a considérablement amélioré notre compréhension de ce problème. Pour des métriques de Kähler canoniques plus générales, telles que les métriques de Kähler extrémales de Calabi, la conjecture YTD est toujours ouverte et, ce qui est peut-être plus important, son utilité pour prouver l’existence de métriques de Kähler extrémales est beaucoup moins claire. Je présenterai un raffinement possible de la conjecture YTD, inspiré par quelques indices dans la littérature, puis des résultats partiels dans cette direction dans le cadre des variétés sphériques.

Comme tous les « Séminaires communs de géométrie », cet exposé est constitué de deux parties, la première de 14h à 14h45 pour un large public, la seconde de 15h15 à 16h pour un public plus intéressé. Entre les deux, une pause « thé-gâteaux » est offerte par l’équipe de géométrie

Première partie : Construction de surfaces minimales : approche variationnelle.

Résumé : Après avoir expliqué ce que sont les surfaces minimales, je présenterai quelques éléments de l’approche variationnelle qui peut être utilisée pour en construire.

Partie spécialisée : Rigidité des variétés riemanniennes contenant un équateur

résumé : Si une métrique sur la sphère S^{^2} à courbure comprise entre 0 et 1 possède une géodésique de longueur 2\pi, alors la courbure est constante égale à 1. Ce résultat de rigidité est dû à Calabi. En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses de courbure sectionnelle, l’existence d’une sphère minimale d’aire 4\pi rigidifie aussi la métrique. Ce résultat a été obtenu dans un travail précédent avec H. Rosenberg. Dans cet exposé je présenterai comment ce travail peut être généralisé en codimension supérieure. Je donnerai aussi comme conséquence un théorème de rigidité pour le « width » de Simon-Smith.

Les variétés de Robinson sont des variétés pseudoriemanniennes que l’on peut réaliser comme fibrés en droites (ou cercles) au dessus de variétés CR. Ces variétés sont présentes dans l’étude des solutions exactes de la relativité générale et plus précisément dans les métriques de type trou noir (Kerr, Taub-Nut). Après avoir présenté ces variétés et donné quelques exemples, nous introduirons dans cet exposé une connexion métrique (différente de la connexion de Levi-Civita) adaptée à l’étude de la géométrie de ces variétés.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu’une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l’inégalité de Bogomolov–Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker–Guenancia–Lehn.

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