Archive 2020

Barak-Erdös graphs are the directed acyclic version of Erdös-Rényi
random graphs : the vertex set is {1,…,n} and for each i<j with
probability p we add an edge directed from i to j, independently for
each pair i0 and is differentiable once but not twice at p=0. We also show
that the coefficients of the Taylor expansion at p=1 of C(p) are
integers, suggesting that C(p) is the generating function of some class
of combinatorial objects.

The neutron transport equation (NTE) describes the net movement of neutrons through an inhomogeneous fissile medium, such as a nuclear reactor. One way to derive the NTE is via the stochastic analysis of a spatial branching process. This approach has been known since the 1960/70s, however, since then, very little innovation in the literature has emerged through probabilistic analysis. In recent years, however, the nuclear power and nuclear regulatory industries have a greater need for a deep understanding the spectral properties of the NTE.

In this talk I will formally describe the dynamics of the so-called neutron branching process (NBP), along with an associated Feynman Kac representation. I will then discuss how the latter can be used to consider the long-term behaviour of the nuclear fission processes through both a Perron-Frobenius decomposition and a strong law of large numbers result.

Thanks to the sequencing revolution in biology, protein sequence
databases have been growing exponentially over the last years.
Data-driven computational approaches are becoming more and more
popular in exploring this increasing data richness. In my talk, I will
show that global statistical modeling approaches, like (Restricted)
Boltzmann Machines are able to accurately capture the natural
variability of amino-acid sequences across entire families of
evolutionarily related but distantly diverged proteins. We show that
these models are biologically interpretable; they allow to extract
information about the three-dimensional protein structure and about
protein-protein interactions from sequence data, and they unveil
distributed sequence motifs. These models can be seen as highly
performant generative models – they capture the natural sequence
variability far beyond fitted quantities, and they allow to design
novel, fully functional proteins by simple MCMC sampling approaches.

Les modèles avec contraintes cinétiques constituent une classe de
modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les
physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles
de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe
est soit à  l’état 0, soit à  l’état 1, et ne peut changer d’état que si
une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du
sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes
possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de
sa contrainte. Une question très importante est donc celle de
l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre
fini de classes selon leur comportement ? Cette question a récemment été
résolue lorsque le graphe de base est Z2 pour une classe de modèles plus
simple, la percolation bootstrap, que l’on peut considérer comme une
version déterministe et monotone des modèles avec contraintes
cinétiques. Cependant, les modèles avec contraintes cinétiques
présentent un phénomène de barrière d’énergie qui peut rendre leur
comportement très différent de celui de la percolation bootstrap, et
nécessitent donc une classification d’universalité plus fine. Dans cet
exposé, on présentera une telle classification d’universalité pour les
modèles avec contraintes cinétiques.

Le theoreme de Bakry-Emery indique que, sous une condition d’uniforme
convexité du potentiel, certaines mesures de probabilités vérifient une
inégalité de Poincaré, avec une constante meilleure que celle associée à 
la mesure gaussienne. De manière équivalente, ce résultat s’interprète
comme une borne sur les valeurs propres de certains opérateurs de
diffusion. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité : si
une telle mesure a une constante de Poincaré proche de celle de la
gaussienne, alors elle contient presque un facteur gaussien, avec des
bornes d’erreur explicites. La preuve repose sur une combinaison
d’arguments élémentaires de calcul des variations, et de la méthode de
Stein sur l’estimation de distances entre mesures de probabilités. Comme
application, on obtient des formes inverses de certaines inégalités de
concentration pour les mesures uniformément log-concaves. Travail en
collaboration avec Thomas Courtade.

L’ensemble des nombres rationnels pouvant s’écrire avec un dénominateur ≤ N, pour une grande valeur de N, est un ensemble discret de R dont la densité globale est de l’ordre de 3/Ï€2 à— N2 (ou 1/2 à— N2 si on compte avec multiplicité). Si on regarde R depuis un point tiré au sort uniformément (modulo 1) et qu’on “zoome” pour voir les détails d’échelle 1/N2, la loi de l’ensemble de points aléatoire ainsi obtenu converge-t-elle vers une limite lorsque N tend vers l’infini ? — cette limite représentant alors, moralement, le comportement local des nombres rationnels de dénominateur borné.

Je me suis penché récemment sur cette question, qui apparemment n’avait jamais été regardée jusque-là , et j’ ai montré qu’effectivement il y avait bien un processus-limite. Ce processus-limite n’est pas réellement aléatoire : il s’apparente plutôt à  un système dynamique (observé sous sa mesure d’équilibre), système dynamique que je préciserai et dont j’établirai l’ergodicité. Pour démontrer tout cela, il faudra utiliser un outil de théorie de nombres très intéressant : l’arbre de Stern-Brocot.

L’exposé montrera également une simulation dynamique de ce fameux processus

We introduce Evolving Systems of Stochastic Differential Equations.

This model generalises the well-known stochastic differential equations

with markovian switching, enabling the countably-many local

systems to have solutions in regime-dependent dimension. We provide

two constructions, the first one based upon general results on measure-valued

processes, and the second one partially inspired by recent developments

of the theory of concatenation of right processes. We prove the Feller

property under very mild assumptions and discuss ongoing research

Dans ces travaux effectués en collaboration avec J.-F. Coeurjolly (UQAM, Montréal) et P.-O. Amblard (Gipsa-Lab, Grenoble), nous proposons d’estimer une intégrale à  partir de points de quadrature produits par un processus ponctuel déterminantal (DPPs), construits à  partir de noyaux de type Dirichlet. Sous l’hypothèse que l’intégrande appartient à  un certain espace de Sobolev de régularité s>1/2 (condition vérifiée par de nombreuses fonctions non-continument différentiable), l’estimateur ainsi construit satisfait alors un théorème central limite avec une variance explicite et une vitesse de convergence hyperuniforme. Grâce à  la structure de ces DPPs, il est également possible d’utiliser une même configuration de points et, via la projection de ces points, estimer des intégrales de fonctions définies sur des espaces de dimension inférieure, tout en conservant les résultats asymptotiques obtenus précédemment.

La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case $(i,j)$, il faut que les cases $(i-1,j)$ et $(i,j-1)$ soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps aléatoire $tau_{(i,j)}$. Ce modèle est notemment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain.

Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas o๠le temps à  attendre $tau_{(i,j)}$ dépend des temps d’arrivée des cases $(i-1,j)$ et $(i,j-1)$ dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille $L$. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas.

L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front: sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne les sont a priori pas.

Une mesure de Gibbs est une mesure de probabilité, sur l’espace des configurations, qui est définie en prescrivant ses lois conditionnelles. Ces lois conditionnelles admettent une densité, par rapport au processus ponctuel de Poisson homogène d’intensité z, de la forme exp ( – beta H ) avec H l’énergie de la configuration. Dans ce cadre une question naturelle est de savoir, pour chaque z et beta, s’il existe une ou plusieurs mesures ayant ces lois conditionnelles.

Dans un article récent en collaboration avec D. Dereudre (Lille) nous étudions le area-interaction model. Pour ce modèle il est conjecturé que la non-unicité a lieu si et seulement si z = beta grand.
Nous répondons partiellement à  cette conjecture en prouvant l’unicité ou la non-unicité pour tous les paramètres z, beta en dehors d’un compact.

Les outils utilisés sont, entre autre, de la percolation et une représentation FK du modèle.

Après avoir introduit les U-statistiques à  deux échantillons,
nous présenterons
une version empirique de ces-dernières. Ceci permet de détecter un
potentiel changement de loi
dans un échantillon. Nous allons donner des conditions suffisantes pour
la convergence
des U-statistiques à  deux échantillons dans un espace fonctionnel
approprié ainsi qu’une description du processus limite.
Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Herold Dehling
(Ruhr-Universität Bochum) et Olimjon Sharipov (National University of
Uzbekistan)

Dans ce travail nous considérons, le problème de l’analyse statistique des modèles FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) induits par un bruit blanc non corrélé mais qui peut contenir des dépendances non linéaires très générales. Ces modèles sont appelés FARIMA faibles et permettent de modéliser des processus à  mémoire longue présentant des dynamiques non linéaires, de structures souvent non-identifiées, très générales. Relâcher l’hypothèse d’indépendance sur le terme d’erreur, une hypothèse habituellement imposée dans la littérature, permet aux modèles FARIMA faibles d’élargir considérablement leurs champs d’application en couvrant une large classe de processus à  mémoire longue non linéaires.

Nous établissons les procédures d’estimation et de validation des modèles FARIMA faibles. Nous montrons, sous des hypothèses faibles de régularités sur le bruit, que l’estimateur des moindres carrés des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est fortement convergent et asymptotiquement normal. La matrice de variance asymptotique de l’estimateur des moindres carrés des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est de la forme « sandwich ». Cette matrice peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort (i.e. dans le cas o๠le bruit est supposé iid). Nous proposons, par deux méthodes différentes, un estimateur convergent de cette matrice. Une méthode alternative basée sur une approche d’auto-normalisation est également proposée pour construire des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette technique nous permet de contourner le problème de l’estimation de la matrice de variance asymptotique de l’estimateur des moindres carrés.

Nous accordons ensuite une attention particulière au problème de la validation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Nous montrons que les autocorrélations résiduelles ont une distribution asymptotique normale de matrice de covariance différente de celle obtenue dans le cadre des FARIMA forts. Cela nous permet de déduire la loi asymptotique exacte des statistiques portmanteau et de proposer ainsi des versions modifiées des tests portmanteau standards de Box-Pierce et Ljung-Box. Il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un khi-deux lorsque le terme d’erreur est supposé iid. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d’une somme pondérée de khi-deux. Elle peut être très différente de l’approximation khi-deux usuelle du cas fort. Nous adoptons la même approche d’auto-normalisation utilisée pour la construction des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA faibles pour tester l’adéquation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette méthode a l’avantage de contourner le problème de l’estimation de la matrice de variance asymptotique du vecteur joint de l’estimateur des moindres carrés et des autocovariances empiriques du bruit.

Considérons le processus de Langevin suramorti (Xt)t≥0 solution de l’équation
différentielle stochastique sur R^d
: dXt = −∇f(Xt)dt + racine(h)dBt.

C’est un processus prototypique utilisé pour modéliser l’évolution de systèmes
statistiques. La fonction f : R^d → R est le potentiel du système et h > 0 sa tem-
pérature. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de f sur de longues périodes de temps avant de s’en échapper. C’est une des raisons majeures qui rend inaccessi-
bles l’observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des tra-
jectoires de (Xt)t≥0. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années pour accélérer l’échantillonnage de dynamiques métastables (e.g. les
méthodes de Monte-Carlo cinétique et les accelerated dynamics algorithms introduits par A.F. Voter et al. à  Los Alamos). Ces algorithmes reposent sur des estimées précises de l’évènement de sortie d’un état macroscopique Ω ⊂ R
d à  basse température (h<<1) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à  l'aide de la célèbre loi d'Eyring-
Kramers (1935). Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées sig-
nificatives sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique Ω pour le processus de Langevin suramorti quand h << 1, ainsi que les nom-
breuses questions qui restent ouvertes.

In spatial dimension > 2, we consider the uniqueness problem for global solutions to the stochastic heat equation, discrete in space and continuous in time, with a small Gaussian noise. A similar problem in the continuous-space setting has been studied by Yuri Kifer. We will describe and motivate the following result: Up to a time-dependent random normalization, the global solution is unique in the class of positive functions of subexponential growth and decay in space. The talk is based on a project with Kostya Khanin and Beatriz Navarro Lameda.

Dans cet exposé, je présenterai des progrès récents dans l’approximation normale par la méthode de Stein et le calcul de Malliavin.
Nous rappelons tout d’abord l’inégalité de Poincaré de second ordre, une technique puissante qui donne des bornes d’erreur pour une approximation normale en termes de dérivées de Malliavin de second ordre.
Nous nous concentrons ensuite sur les cas o๠l’inégalité de Poincaré de second ordre ne s’applique pas. Cela pourrait être la conséquence d’un manque de régularité ou, dans certains cas, de la non-tractabilité des seconds dérivés.
Cet exposé est basé sur plusieurs travaux conjoints avec R. Lachièze-Rey, I. Nourdin, G. Peccati.

Dans cet exposé, nous présenterons de récents travaux effectués en collaboration avec F.Panloup et S.Tindel sur l’estimation paramétrique du terme de drift pour une EDS fractionnaire additive sous des hypothèses assurant l’ergodicité de l’EDS. La méthode d’estimation est en effet basée sur l’identification de la mesure invariante (à  définir dans ce cadre a priori non-markovien) pour laquelle nous construisons une approximation à  partir d’observations discrètes de l’EDS. Nous donnerons des résultats de consistance ainsi qu’une borne non asymptotique sur l’erreur quadratique moyenne.
Pour obtenir ce dernier résultat, nous détaillerons des résultats d’inégalités de concentration pour les EDS fractionnaires que nous avons développés dans de récents travaux.
Enfin, nous discuterons de l’hypothèse d’identifiabilité intrinsèquement liée à  la mesure invariante et nous donnerons quelques illustrations numériques.

We look at at a coupled system of stochastic differential equations that describe an infinite parametric family of genealogical skeletal decompositions of a general continuous state branching process (CSBP), supercritical, critical and subcritical. This puts into a common framework a number of known and new path decompositions of CSBPs, including those which involve continuum random trees, and allow us to connect the notion of Evans-O’Connell immortal particle decomposition to that of the skeletal decomposition. This is joint work with Dorka Fekete (Exeter) and Joaquin Fontbona (U. de Chile).

Les complexes simpliciaux sont les généralisations des graphes géométriques à  des relations non plus binaires mais aussi ternaires ou plus. Ce sont des objets très utilisés en analyse de données topologiques. Nous construisons sur ces objets une nouvelle marche aléatoire qui généralise la marche aléatoire canonique sur un graphe. Nous montrons que son générateur est intimemement au Laplacian du complexe simplicial, qui est une généralisation du Laplacien de graphe. Nous nous intéressons ensuite au processus limite quand la densité du nombre de points tend vers l’infini. Nous montrons comment utiliser cette marche pour localiser les trous de couverture dans un réseau radio.

Cet exposé présentera une petite zoologie de chaînes de Markov à 
mémoire variable, avec des conditions d’existence et unicité de mesure
invariante. Il sera ensuite question de marches aléatoires
persistantes, construites à  partir de chaînes de Markov à  mémoire non
bornée, o๠les longueurs de sauts de la marche ne sont pas forcément
intégrables. Un critère de récurrence/transience s’exprimant en
fonction des paramètres du modèle sera énoncé. Suivront plusieurs
exemples illustrant le caractère instable du type de la marche
lorsqu’on perturbe légèrement les paramètres. Les travaux décrits dans
cet exposé sont le fruit de plusieurs collaboration avec B. Chauvin, F.
Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret et A.
Rousselle.

Un processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec seuil est un processus d’autoregression à  temps continu. Il suit une dynamique d’Ornstein-Uhnlenbeck au dessus ou dessous d’un seuil fixé, pourtant à  ce seuil les coefficients peuvent être discontinus. Nous considérons l’estimation par (quasi)-maximum de vraisemblance des paramètres de dérive, à  partir d’observations à  temps continu ou discret. Dans le cas ergodique, nous montrons consistance et vitesse de convergence en temps long et haute fréquence pour ces estimateurs. En se basant sur ces résultats, nous développons un test heuristique pour la présence d’un seuil dans la dynamique et nous concluons avec une application à  short term US interest rates.
Ceci est un travail avec Paolo Pigato.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

Dans cet exposé, nous intéressons à  des modèles simples de croissance de population. Chaque individu possède une durée de vie aléatoire, indépendante des durées de vie des autres individus, et dont la loi dépend uniquement de la date de naissance de l’individu. A sa mort ou durant son vivant mais de manière Poissonienne, chaque individu donne naissance à  de nouveaux individus. Pour ce modèle, nous étudierons ces processus avec deux outils différents : le processus de contour de l’arbre et la théorie des semi-groupes. La première approche permettra d’avoir la loi du nombre d’individus, divers résultats de conditionnement (comportement quasi-stationnaire, loi de l’arbre conditionné à  l’extinction ou la non-extinction etc.) ou des limites d’échelles. La deuxième approche permet de montrer une croissance exponentielle pour la taille de la population ainsi que la convergence du profil des âges. Nous finirons l’exposé avec quelques perspectives en statistiques.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

On considère un système de N neurones, dont le potentiel de membrane évolue selon une dynamique de type interaction champ moyen. Plus précisément, pour chaque neurone, ce potentiel décroît à  taux constant, et d’autre part est mis à  zéro lorsque le neurone se décharge (émet un spike), ce qui entraîne également une augmentation du potentiel de tous les autres neurones. Les spike surviennent à  des temps aléatoires, à  un taux lamba(u) qui dépend du potentiel de membrane u. Quand lambda(u) est nul en 0 et dérivable alors, quelque soit N, le système s’arrête presque sà»rement en temps fini, c’est-à -dire qu’il n’y aura qu’un nombre fini de spike, suivi d’une décroissance déterministe du système vers 0. On verra que, sous certaine condition, le système est néanmoins métastable, au sens o๠les points suivants sont satisfaits : 1) le système non-linéaire limite (N->infini) converge vers un unique équilibre non nul ; 2) le temps d’extinction d’un système fini de N neurones est exponentiellement grand en fonction de N ; 3) le potentiel moyen du système s’approche rapidement d’une valeur positive constante, et les temps de sortie de voisinages de cette valeur convergent (quand N->infini) vers la loi exponentielle (caractère sans mémoire, imprévisible de ces déviations du comportement limite). Les démonstrations reposent sur des méthodes de couplage.

Le temps de mélange d’une marche aléatoire sur un graphe est étroitement lié à  l’existence de « goulots d’étranglement » dans le graphe : intuitivement, plus il est difficile pour la marche de s’échapper de certains sous-ensembles, plus la marche met du temps à  mélanger. Plusieurs résultats montrent que, sur des graphes aléatoires qui sont presque sà»rement des expanseurs et donc n’ont typiquement pas de goulots d’étranglement (par exemple, sur des graphes réguliers uniformes), la marche aléatoire mélange non seulement vite mais de façon très abrupte (on dit qu’elle présente le phénomène de cutoff). Dans cet exposé, nous verrons que l’on peut aussi obtenir des résultats similaires sur des graphes qui ne sont typiquement pas des expanseurs. Nous considérerons des graphes aléatoires munis d’une structure à  deux communautés et montrerons qu’il existe un seuil pour la fraction d’arêtes inter-blocs autour duquel la marche bascule d’un régime de mélange rapide avec cutoff à  un régime de mélange lent sans cutoff.

Cette première partie s’intéressera à  l’utilisation d’inégalités fonctionnelles visant à  obtenir une vitesse de convergence d’un processus de Markov vers une mesure invariante. Plus précisément, nous parlerons de l’inégalité de Poincaré et démontrerons, entre autre, qu’elle implique une convergence exponentielle en divergence du $chi_2$ et en variation totale. Puis nous évoquerons la condition courbure-dimension de Bakry-Emery et montrerons qu’elle implique une inégalité de Poincaré. Si le temps le permet, nous parlerons aussi de l’inégalité de Sobolev logarithmique.

Le but de cet exposé est de présenter la théorie des graphes de dépendance et une extension pondérée que j’ai récemment introduite. Ces théories donne des critères de normalité asymptotique pour des sommes de variables aléatoires faiblement dépendantes. Elle s’applique en particulier aux nombres de sous-structures de taille fixée dans des objets combinatoires aléatoires ou des modèles de physique statistique. L’exposé sera illustré par des exemples de compte de sous-mots dans des mots aléatoires et des applications à  un système de particule (SSEP, symmetric simple exclusion process) et au modèle d’Ising.

Cette seconde partie se basera sur le preprint « Convergence to quasi-stationarity through Poincaré inequalities and Bakry-Emery criteria ». Il y sera démontré que l’on peut obtenir de la quasi-ergodicité (i.e. convergence de lois marginales de processus conditionnée à  la non-absorption) à  vitesse exponentielle au moyen d’un processus auxiliaire, appelé Q-processus, satisfaisant une inégalité de Poincaré ou une condition de Bakry-Emery. Lorsque le processus absorbé est une diffusion de Kolmogorov, le Q-processus l’est aussi, ce qui permet dans ce cas précis d’énoncer des critères intéressants sur le potentiel pour l’estimation du taux de convergence.

On considère des systèmes multiéchelles d’Equations Différentielles Stochastiques: quand un paramètre epsilon tend vers 0, la composante lente converge soit vers la solution d’une équation différentielle ordinaire (principe de moyennisation), soit vers la solution d’une équation différentielle stochastique (approximation diffusion). L’objectif d’un schéma préservant l’aymptotique est d’être consistent pour tout epsilon, et d’admettre un schéma limite quand epsilon tend vers 0, qui soit consistent avec l’équation limite au niveau continu.

On verra que pour les modèles EDS la consistance du schéma limite avec l’équation limite n’est pas évidente: par exemple, le schéma limite peut être naturellement associé à  une interprétation Itô du bruit, alors que l’équation limite est associée à  l’interprétation Stratonovich. On décrira des exemples et contre-exemples de schémas préservant l’asymptotique.

Enfin, on montrera (dans le régime moyennisation) une estimation d’erreur uniforme par rapport à  epsilon, en fonction du pas de temps: le schéma est uniformément précis.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Shmuel Rakotonirina-Ricquebourg (Lyon 1).

Les diffusions (famille de solutions d’équations différentielles stochastiques) jouent un rôle primordial en modélisation stochastique avec de nombreux champs d’application. Il est donc essentiel de pouvoir simuler précisément les trajectoires de ces processus et toute variable aléatoire qui y serait liée. Dans cette communication, nous nous intéresserons en particulier au premier instant de sortie d’un intervalle donné. Nous considérons donc (Xt) la solution de dXt = μ(Xt)dt + dBt, X0 ∈ ]a,b[, t≥0, o๠(Bt) est un mouvement brownien et l’objectif se résume à  la simulation numérique de Ï„_ab = inf{t≥0: Xt ∉ ]a,b[}. Cette variable aléatoire dépend de la trajectoire du processus et non simplement d’une marginale à  un temps fixé, ce qui rend plus compliquée sa simulation numérique. Une première approche consiste à  introduire des schémas numériques basés sur la discrétisation temporelle. Ces schemas permettent d’obtenir un squelette de la diffusion et d’en déduire une approximation du temps de sortie. Une autre façon d’appréhender le problème de simulation est d’utiliser une méthode de rejet pour simuler directement et de façon exacte le temps de sortie. C’est cette méthode que je souhaite vous présenter. Une première étude sur la simulation exacte notamment des marginales de diffusion fut introduite par Beskos et Roberts puis complétée par différents travaux par la suite. En ce qui concerne les temps d’arrêt, Cristina Zucca et moi-même avons étudié dans un premier temps les premiers instants de passage des diffusions avant de nous intéresser aux temps de sortie dont la complexité (au niveau des algorithmes) est bien supérieure. Références : https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/ProbaStat/covid/downloads/2020-11-26_Samuel_Herrmann_abstract.pdf

Le problème du transport optimal de Monge, sous sa forme « Kantorovich », se formule particulièrement bien en termes probabilistes puisqu’il consiste à  minimiser l’espérance de la distance (ou d’une autre fonction) de deux variables aléatoires dont les marges, les fameux « déblais » et « remblais », sont des données du problème. En somme il s’agit de trouver un couplage (un transport, une loi jointe) optimal(e). Je parlerai de certains de mes travaux sur la variante « martingale » du problème et des couplages spécifiques (dernièrement d’une infinité indénombrable de lois) qui en ont émergé. Des liens avec le problème de plongement de Skorokhod et certaines représentations de Choquet seront évoqués. Travaux en collaboration avec Mathias Beiglböck, et plus récemment avec Martin Huesmann et Martin Brà¼ckerhoff.

Si estimer la médiane (quantile de niveau 0.5) ou le quartile (quantile de niveau 0.25 ou 0.75) d’une variable aléatoire Y paraît évident lorsque l’on dispose d’un échantillon de taille n, qu’en est-il si le niveau de quantile que l’on cherche à  estimer dépasse 1-1/n ? Dans ce cas, l’usage de la classique statistique d’ordre renvoie systématiquement le maximum de l’échantillon, et mène alors à  une estimation non-consistante du quantile désiré. Grâce à  la théorie des valeurs extrêmes, on trouve dans la littérature des méthodes d’extrapolation pour estimer de tels quantiles. La particularité de ce travail est que la variable d’intérêt Y est impactée par un vecteur de covariables X. L’enjeu est alors d’estimer des quantiles extrêmes de la loi conditionnelle de Y sachant X=x. Pour cela, on propose d’abord une approche de régression purement non-paramétrique, en proposant des estimateurs de quantile et d’expectile (une alternative au quantile que l’on introduira) extrêmes, et en étudiant leurs propriétés asymptotiques. La vitesse de convergence de ces estimateurs se dégradant assez fortement lorsque la taille de la covariable X augmente, on proposera alors quelques modèles sur X et Y permettant de contourner le fléau de la dimension. Quelques applications en assurance ou catastrophe naturelle seront proposées.

Si estimer la médiane (quantile de niveau 0.5) ou le quartile (quantile de niveau 0.25 ou 0.75) d’une variable aléatoire Y paraît évident lorsque l’on dispose d’un échantillon de taille n, qu’en est-il si le niveau de quantile que l’on cherche à  estimer dépasse 1-1/n ? Dans ce cas, l’usage de la classique statistique d’ordre renvoie systématiquement le maximum de l’échantillon, et mène alors à  une estimation non-consistante du quantile désiré. Grâce à  la théorie des valeurs extrêmes, on trouve dans la littérature des méthodes d’extrapolation pour estimer de tels quantiles. La particularité de ce travail est que la variable d’intérêt Y est impactée par un vecteur de covariables X. L’enjeu est alors d’estimer des quantiles extrêmes de la loi conditionnelle de Y sachant X=x. Pour cela, on propose d’abord une approche de régression purement non-paramétrique, en proposant des estimateurs de quantile et d’expectile (une alternative au quantile que l’on introduira) extrêmes, et en étudiant leurs propriétés asymptotiques. La vitesse de convergence de ces estimateurs se dégradant assez fortement lorsque la taille de la covariable X augmente, on proposera alors quelques modèles sur X et Y permettant de contourner le fléau de la dimension. Quelques applications en assurance ou catastrophe naturelle seront proposées.