Archive 2023

Différentes notions de mélange en théorie des probabilités -- Comment quantifier la (in)dépendance entre deux tribus ?

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 12 janvier 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Rémi Peyre (IECL) Résumé :

L’indépendance est peut-être le concept le plus central de toute la théorie des probabilités. Or, dans nombre de situations (à la fois modélisatoires et théoriques), l’indépendance entre certaines variables aléatoires ou tribus n’est pas réalisée parfaitement, mais seulement approximativement ou asymptotiquement… C’est donc un enjeu tout à fait naturel que de chercher un moyen d’évaluer quantitativement le niveau de dépendance entre deux v. a., afin de donner un sens précis à l’idée qu’elles soient “presque indépendantes”. Plus exactement, dans cet exposé nous présenterons différentes manière de quantifier la dépendance entre deux (sous-)tribus sur un même espace probabilisé.

Nous verrons qu’il peut exister différentes définitions naturelles pour quantifier la dépendance, non équivalentes les unes aux autres, mais ayant chacune des propriétés intéressantes. Nous verrons aussi comment, dans les contextes où il s’agit de tensoriser des résultats pour monter en dimension, le coefficient de ρ-mélange se distingue de ses concurrents. J’en profiterai pour présenter au passage deux résultat de mon cru autour du ρ-mélange.


Processus de branchement pour des structures de contacts en épidémiologie

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 12 janvier 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Vincent Bansaye (École polytechnique) Résumé :

Les processus de branchement apparaissent dans de nombreux modèles de dynamique des populations, notamment pour décrire des invasions. En particulier, ils interviennent dans la description des premières phases d’une épidémie pour déterminer si le nombre d’infectés va exploser ou non et si oui à quelle vitesse. Dans ces modèles, la description des contacts joue un rôle important.
Après une introduction sur ces problématiques, nous nous focaliserons sur un modèle incluant le traçage des contacts. Dans ce modèle, les individus infectent en population mélangée à taux fixe et l’information sur le contact infectieux est perdu à taux fixe, tandis que le test d’un individu infecté aboutit à l’isolement de la composante connexe associée aux contacts encore connus. Grâce à une propriété d’«éclatement» des arbres récursifs uniformes, nous pourrons réduire le modèle à un processus de croissance fragmentation isolation sur les tailles des composantes.
Nous exploiterions alors des techniques récentes d’analyse quantitative des semi groupes non conservatifs et des processus de branchement associé. Cela permettra d’obtenir des convergences fortes pour décrire la propagation de l’épidémie.
Enfin, nous évoquerons des extensions de ce modèle et la prise en compte d’une structuration spatiale des contacts via de grands graphes aléatoires spatialisés, impliquant des techniques d’homogénéisation stochastique.

Ces travaux sont respectivement des collaborations avec Chenlin Gu (Pékin) et Linglong Yuan (Liverpool), Michele Salvi (Rome) et Elisabeta Vergu (INRAe Jouy).


On a stochastic approach to a diffusion-growth-fragmentation equation in a chemostat

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 19 janvier 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Josué Tchouanti (Neuromod Institute, Université Côte-d’Azur) Résumé :

Attention: changement d’horaire: horaire du seminaire. Une visio sera mise en place.
The growth-fragmentation equation is a well-known model for modelling the dynamics of a size-structured
bacterial population. In this presentation, we will focus on a non-linear version of this equation with a
diffusion term and coupled to the dynamics of a resource. This new model describes the growth of a
bacterial population in a continuous medium, and structured according to the expression of a protein
involved in the individual metabolism. We will establish the existence of the solution by showing that
this model can be seen as the large population limit of a stochastic individual-based model. We will
then show the uniqueness of this solution and some qualitative results thanks to the properties of the
semi-group of the stochastic process that describes the protein expression of a typical individual in the
population.

L’orateur est invité BIGS.


Temps locaux de processus et limites globales de leurs fonctionnelles additives

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 26 janvier 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Henri Elad Altman (Freie Universität Berlin) Résumé :

Nous présenterons des résultats de limites d’échelles de fonctionnelles additives de processus non-markoviens, dont nous décrirons la limite en termes de temps locaux du processus. Une étape clé dans nos preuves consiste en une nouvelle descriptions de fonctionnelles additives à l’aide d’un Lemme de la Couturière Stochastique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Khoa Lê (Université de Leeds).


Probabilités et logique : lois du 0-1 et lois de convergence pour les graphes aléatoires

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 2 février 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentin Feray (IECL) Résumé :

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la première partie.


Probabilités et logique : lois du 0-1 et lois de convergence pour les graphes aléatoires

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 février 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentin Feray (IECL) Résumé :

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la deuxième partie.


La puissance du ρ-mélange

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 février 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Rémi Peyre (IECL) Résumé :

En probabilités, dans les situations où deux variables aléatoires X et Y (à valeurs dans des espaces quelconques) sont “presque” indépendantes sans l’être complètement pour autant (par exemple, entre deux valeurs éloignées d’une chaine de Markov ergodique), une question naturelle est de quantitifer cette dépendance partielle. Parmi les différentes mesures de dépendances conçues par les mathématiciens , l’une est particulièrement intéressante : il s’agit du coefficient de ρ-mélange, qu’on peut définir comme le coefficient de corrélation de Pearson maximal pouvant être obtenu entre deux v.a. réelles de la forme resp. f(X) et g(Y). Le ρ-mélange possède aussi d’autres définitions équivalentes que je présenterai brièvement, et qui en font dès le départ un outil particulièrement naturel.

Dans cet exposé, je présenterai la propriété dite de tensorisation, qui est spécifique au ρ-mélange, et rend cet outil particulièrement bien adapté pour borner la dépendance entre des v.a. “compliquées” faites d’une collection de v.a. plus simples. Une application où cette propriété est particulièrement bienvenue concerne l’étude de modèles de physique statistique comme celui d’Ising (non critique), où les variables aléatoires de base (appelées « spins ») sont indexées par ℤd, et où la corrélation entre deux spins individuels tend vers zéro lorsque la distance augmente. Une question qu’on aimerait alors résoudre est : que peut-on dire de la corrélation entre deux groupes de spins ; et en particulier, y a-t-il des bornes indépendantes de la taille de ces groupes…?

Je raconterai ensuite quelles difficultés soulève le résultat “de base” sur la tensorisation du ρ-mélange, et comment, dans un de mes travaux, j’ai établi un résultat de tensorisation généralisée permettant l’application effective de la tensorisation en physique statistique. Je conclurai en présentant quelques autres approches de l’idée de mélange (au sens de « indépendance asymptotique ») en physique statistique, et des liens qu’on peut espérer établir entre ces approches et celle par ρ-mélange.

En fait, cet exposé est en lien avec celui que j’avais donné le 12 janvier, où j’avais présenté un panorama des principales méthodes de quantification de l’idée de dépendance partielle (ainsi que des implications entre les unes et les autres) : le contenu de cette séance-ci sera, en substance, constitué par les points que je n’ai pas eu le temps de vous présenter en janvier. Néanmoins, j’ai préparé ce second exposé de sorte qu’il soit totalement indépendant du premier : vous pourrez donc le suivre sans problème même si vous n’étiez pas là en janvier ! \uD83D\uDE07


Formules de Pascal et champs de vecteurs

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 2 mars 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Philippe Chassaing (IECL) et Jules Flin (M2 recherche) Résumé :

À l’instar du triangle de Pascal, d’autres triangles combinatoires (Stirling, Euler) ont des (sortes de) formules de Pascal. On verra au cours de cet exposé comment associer à chacune de ces formules de Pascal, de manière naturelle, une chaîne de Markov liée à un processus stochastique bien connu. Un comportement asymptotique « explicite » de la chaîne de Markov en découle.

Ce groupe de travail à deux voix est basé sur un travail commun avec Alexis Zevio (étudiant à la prepa agrég).


Retrouver Adam et Eve dans les arbres de Barabàsi—Albert

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 2 mars 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Alice Contat (Université Paris-Saclay) Résumé :

On se donne $(T (n) : n \geq 1)$ un processus d’arbres construits récursivement sommet par sommet (par exemple, le processus de Barabàsi—Albert), que l’on observe à un temps n long. Notre but est de retrouver le sommet initial (Adam). Plus précisément, on veut trouver un sous ensemble de sommets le plus petit possible qui contient Adam avec probabilité au moins $1- \varepsilon$.
Après un aperçu des résultats existants pour les arbres récursifs uniformes et ceux de Barabàsi—Albert, je montrerai que pour trouver Adam, il vaut mieux chercher Adam et Eve.
Travail en collaboration avec Nicolas Curien, Perrine Lacroix, Etienne Lasalle et Vincent Rivoirard.


Géodésiques et entropies sur les surfaces hyperboliques

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 mars 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Samuel Tapie (IECL) Résumé :

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la première.


Géodésiques et entropies sur les surfaces hyperboliques

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 mars 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Samuel Tapie (IECL) Résumé :

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la deuxième.


Géodésiques et entropies sur les surfaces hyperboliques (III)

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 23 mars 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Samuel Tapie (IECL) Résumé :

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites “hyperboliques”) sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme. Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.


Le rôle de la corrélation dans les jeux différentiels stochastiques

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 23 mars 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Nabil Kazi-Tani (IECL) Résumé :

Dans cet exposé, on s’intéressera aux équilibres de Nash dans des jeux différentiels à deux joueurs avec contrôle sur les coefficients de diffusion, et avec corrélation des mouvements browniens dirigeant les équations. Nous considérerons des jeux de classement à somme nulle, dans le sens où les critères optimisés par les joueurs ne dépendent que de la différence des processus d’état des deux joueurs. Dans ce cadre, nous donnerons explicitement les stratégies d’équilibres, en fonction de la corrélation : si le coefficient de corrélation est inférieur à un certain seuil, les stratégies d’équilibres sont des « contrôles forts », tandis que si le coefficient de corrélation est supérieur à ce même seuil, les stratégies d’équilibres sont « mixtes », dans le sens où les joueurs auront un intérêt à choisir leurs stratégies au hasard. Cet exposé sera l’occasion d’introduire la formulation dite « relaxée » des problèmes de contrôle et de jeu stochastiques, formulation basée sur des solutions à des problèmes de martingales. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Stefan Ankirchner (Université de Jena) et Julian Wendt (Université de Jena).


Quelques notions de la théorie des opérateurs positifs appliquées à l'étude des processus sous-markoviens

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 30 mars 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Denis Villemonais (IECL) Résumé :

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des opérateurs positifs sur les treillis de Banach, je m’intéresserai aux opérateurs positifs quasi-compacts : il s’agit d’opérateurs qui, à une « petite » perturbation près, se comportent comme une matrice de taille finie. Un résultat particulièrement intéressant de cette propriété est qu’elle se transfert aisément d’un opérateur à un autre par des arguments de domination. Nous verrons comment appliquer ces résultats aux processus sous-markoviens pour obtenir des résultats de convergence des processus conditionnés à la non-absorption.


Estimées bilatérales pour le processus de Langevin tué au bord d'un domaine

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 30 mars 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Mouad Ramil (Seoul National University) Résumé :

Nous nous intéresserons ici à l’obtention d’estimées bilatérales pour la densité du processus de Langevin tué au bord de l’ouvert D=(0,1) x R^d dans le cas d’un potentiel quadratique. Ces estimées sont cruciales pour obtenir un résultat de convergence de la distribution conditionnée à rester dans le domaine D vers l’unique distribution quasi-stationnaire, avec un préfacteur indépendent de la distribution initiale. En raison de la dégénérescence du Langevin et du fait que le domaine D soit non borné, il est nécessaire de développer une approche nouvelle. Dans ce travail, nous commençons par prouver des estimées bilatérales et explicites sur la probabilité du premier temps de sortie, que nous parvenons ensuite à étendre à la densité du processus tué à l’aide de contrôles gaussiens obtenus dans un travail précédent.


La limite super-diffusive de la marche aléatoire de l'éléphant

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 6 avril 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Lucile Laulin (Université de Nantes) Résumé :

La marche aléatoire de l’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On commencera par introduire la marche aléatoire de l’éléphant en dimension 1 et sa généralisation à dimension d. On présentera ensuite plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW, telles que l’approche martingale, lien avec les urnes de Polya ou encore les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif en dimension 1, et éventuellement en dimension d.


Pseudotrajectoires asymptotiques : une approche dynamique de l'approximation stochastique.

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 13 avril 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Virgile Brodu (IECL) Résumé :

Le concept de pseudotrajectoires asymptotiques a été développé à la fin des années 90 par M. Benaïm et M. Hirsch. Pour mieux comprendre la dynamique des algorithmes d’approximation stochastique, ils ont eu l’idée fructueuse d’intégrer aux techniques probabilistes classiques des notions de systèmes dynamiques.

Précisément, nous allons nous rendre compte dans le cadre de ce groupe de travail que la propriété de pseudotrajectoire asymptotique (que je n’écrirai pas ici pour maintenir le suspense) peut donner l’impression d’être relativement peu exploitable, de prime abord. Même si des raisonnements probabilistes à notre portée peuvent nous permettre d’obtenir cette propriété pour des processus raisonnables, elle reste un brin mystique.

C’est sans compter sur l’ingéniosité de Benaïm et Hirsch, qui montrent que cette propriété est en fait suffisante pour dire beaucoup de choses sur le comportement asymptotique de nos algorithmes d’approximation stochastique. Il est possible de relier le comportement limite de ces trajectoires aléatoires aux ensembles de points intrinsèquement récurrents en chaîne pour un certain flot déterministe.


An ergodic theory for conditioned random dynamical systems

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 13 avril 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Maximilian Engel (Freie Universität Berlin) Résumé :

We will introduce the setting of random dynamical systems with absorption, as for example induced by iterated function systems or stochastic differential equations on a bounded domain with killing at the boundary. We will show how to embed the process conditioned to never being absorbed, the Q-process, into the framework of random dynamical systems, allowing us to study multiplicative ergodic properties and the notion of Kolmogorov-Sinai entropy. Finally, we will elaborate on the relation between entropy and Lyapunov exponents for this setting.


Mathematical modeling through branching processes

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 4 mai 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Manuel Molina (Universidad de Extremadura) Résumé :

This talk deals with mathematical modeling of dynamical systems through branching processes. After a brief introduction to the theory on branching processes, we will focus the attention in two research lines: models based on two-sex branching processes and models based on branching processes to describe the dynamics of specific biological species. Concernig the first, we will provide an overview on some classes of two-sex branching models recently investigated. About the second line, we will present two stochastic models, the first to describe the demographic dynamics of long-lived raptor species, and the second, to describe the probabilistic evolution of complex biological systems. We will show an application of the first model to the study about the demographic dynamics of black vulture colonies in the region of Extremadura (Spain).

L’orateur est invité BIGS.


The Poisson-lognormal model as a versatile framework for the joint analysis of species abundances

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 4 mai 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Mahendra Mariadassou (Inrae Jouy-en-Josas) Résumé :

Joint work with Julien Chiquet and Stéphane Robin

Joint Species Abundance Models (JSDM) provide a general multivariate framework to study the joint abundances of all species from a community. JSDM account for both structuring factors (environmental characteristics or gradients, such as habitat type or nutrient availability) and potential interactions between the species (competition, mutualism, parasitism, etc.), which is instrumental in disentangling meaningful ecological interactions from mere statistical associations.

Modeling the dependency between the species is challenging because of the count-valued nature of abundance data and most JSDM rely on Gaussian latent layer to encode the dependencies between species in a covariance matrix. The multivariate Poisson-lognormal (PLN) model is one such model, which can be viewed as a multivariate mixed Poisson regression model. The inference of such models raises both statistical and computational issues, many of which were solved in recent contributions using variational techniques and convex optimization.

The PLN model turns out to be a versatile framework, within which a variety of analyses can be performed, including multivariate sample comparison, clustering of sites or samples, dimension reduction (ordination) for visualization purposes, or inference of interaction networks. We will presents the PLN framework and some variants and illustrate them on typical datasets. All the models and methods are implemented in the R package PLNmodels, available from cran.r-project.org.


Convergence de fonctions holomorphes aléatoires

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 11 mai 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Joseph Najnudel (Université de Nice Sophia-Antipolis) Résumé :

Dans cet exposé, nous étudions les conditions sous lesquelles la convergence du processus ponctuel des zéros de fonctions holomorphes aléatoire implique la convergence des fonctions holomorphes elles-mêmes. Nous montrons comment appliquer ce résultat au cas du polynome caractéristique de matrices aléatoires, et conjecturalement, à la fonction zeta de Riemann.


Masterclass M2

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 25 mai 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Résumé :

Le groupe de travail n’aura pas lieu, à la place vous pouvez participer à la masterclass M2.

Les cours de proba (L. Coutin et I. Kortchemski) ont lieu du mercredi après-midi au vendredi.


Modèles aléatoires d'arbres binaires de recherche

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 25 mai 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Benoît Corsini (Eindhoven University of Technology) Résumé :

Lors de ce séminaire je vais présenter différents modèles d’arbres binaires de recherche, un objet couramment utilisé en informatique pour étudier l’organisation optimale de données. Je vais commencer par définir plusieurs modèles d’arbres binaires de recherche, basés sur différents modèles de permutations (permutations uniformes, de Mallows et biaisées de record). Après ça, je vais expliquer quelques propriétés intéressantes de ces arbres, notamment comment ils peuvent être construits récursivement. Finalement, je vais conclure cette présentation en donnant des résultats concernant la hauteur de ces arbres et expliquer comment ces résultats peuvent être extraits des constructions précédemment introduites.

L’exposé s’intègrera à la masterclass M2


Workshop: Processus stochastiques, metastabilité et applications

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 1 juin 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : International Workshop Résumé :

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour que vous alliez au workhop internationale

Stochastic processes, metastability and applications

qui se tiendra à Nancy du 31 mai au 2 juin 2023, organisé par notre collègue Aline Kurtzmann.


Théorèmes limites pour une marche aléatoire avec auto-interactions

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 1 juin 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Laure Marêché (Université de Strasbourg) Résumé :

Dans cet exposé, on s’intéressera à une marche aléatoire non markovienne, telle que la probabilité que la marche aille en un point donné est plus faible si elle est déjà passée souvent le long de l’arête entre la position initiale et la cible. Les modèles de ce type les plus étudiés sont ceux dans lesquels les arêtes sont non orientées. Cependant, en 2008 Tóth et Vető ont introduit une telle marche aléatoire avec auto-interactions pour laquelle les arêtes sont orientées, et découvert des propriétés très différentes de celles des modèles avec arêtes non orientées. Malgré l’intérêt d’un tel comportement, très peu de résultats ont été obtenus depuis sur ce modèle. On présentera de nouveaux théorèmes limites pour cette marche aléatoire.


The Kravchuk transform: a novel covariant representation for discrete signals amenable to zero-based detection tests

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 8 juin 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Barbara Pascal (LS2N, Nantes) Résumé :

Recent works in time-frequency analysis proposed to switch the focus from the maxima of the spectrogram toward its zeros, which form a random point pattern with a very stable structure. Several signal processing tasks, such as component disentanglement and signal detection procedures, have already been renewed by using modern spatial statistics onthe pattern of zeros. Tough, they require cautious choice of both the discretization strategy and the observation window in the time-frequency plane. To overcome these limitations, we propose a generalized time-frequency representation: the Kravchuk transform, especially designed for discrete signals analysis, whose phase space is the unit sphere, particularly amenable to spatial statistics. We show that it has all desired properties for signal processing, among which covariance, invertibility and symmetry, and that the point process of the zeros of the Kravchuk transform of complex white Gaussian noise coincides with the zeros of the spherical Gaussian Analytic Function. Elaborating on this theorem, we finally develop a Monte Carlo envelope test procedure for signal detection based on the spatial statistics of the zeros of the Kravchuk spectrogram.

After reviewing the unorthodox path focusing on the zeros of the standard spectrogram and the associated theoretical results on the distribution of zeros in the case of white noise, I will introduce the Kravchuk transform and study the random point process of its zeros from a spatial statistics perspective. Then I will present the designed Monte Carlo envelop test, and illustrate its numerical performance in adversarial settings, with both low signal-to-noise ratio and small number of samples, and compare it to state-of-the-art zeros-based detection procedures.


Colloquinte

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 15 juin 2023 09:15-12:30 Lieu : Oratrice ou orateur : Irène Marcovici, Renaud Marty, Edouard Strickler, Koléhè Coulibaly-Pasquier Résumé :

+ « Schéma de splitting pour une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire » (Renaud Marty)

Nous considérons dans cet exposé une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ce terme de dispersion est un processus stochastique continu général qui peut être par exemple défini à partir d’un mouvement brownien fractionnaire.Nous étudions un schéma de splitting pour la résolution numérique de cette équation.Nous établissons des résultats sur l’ordre de convergence du schéma et montrons qu’il préserve l’asymptotique.

+ « Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski » (Irène Marcovici)

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement.
Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Chloé Boisson et Damien Jamet.

+ « Les convolutions de Bernoulli » (Edouard Strickler)

Prenez un nombre, mutlipliez-le par une constante a < 1,  ajouter lui aléatoirement 1 ou – 1, et recommencez. Une chaîne de Markov ultra-simple ? et pourtant, elle cache de l’auto-similarité, des escaliers du diable, des nombres de Pisot, des résultats d’Erdös, une vallée de la mort, et son lot de mystères…

+ « Cutoff pour le mouvement Brownien sur les sphères«  (Koléhè Coulibaly-Pasquier)

Nous verrons comment l’entrelacement algébrique fait apparaître le flot de courbure moyenne stochastique renormalisé. Après couplage, entre le processus dual et le processus primal, nous présenterons la notion de temps fort stationnaire. Nous verrons qu’au temps ln(n)/n le mouvement Brownien sur la sphère S^(n+1) est brutalement proche (en séparation) de sa mesure invariante.C’est une série de travaux en collaboration avec Laurent Miclo, et Marc Arnaudon.


International conference Informs APS 2023

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 29 juin 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Informs APS 2023 Résumé :

Quand aura-t-on encore l’occasion d’accueillir à Nancy cette confèrence si renommé?

Alos nous ne pouvons pas la manquer 🙂

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour vous permettre la participation à la confèrence qui se tiendra au Centre Prouvé.


Modèles individu-centrés en dynamique adaptative, comportement asymptotique et équation canonique : le cas des mutations petites et fréquentes.

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 21 septembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Vincent Hass (IECL) Résumé :

Le premier groupe de travail, un peu plus tôt que d’habitude. Voici le résumé.

La théorie des dynamiques adaptatives est une branche de la biologie de l’évolution qui étudie les liens entre écologie et évolution. Les hypothèses biologiques qui définissent son cadre sont celles de mutations rares et petites et de grande population asexuée. Les modèles de dynamiques adaptatives décrivent la population au niveau des individus, lesquels sont caractérisés par leurs phénotypes, et visent à étudier l’influence des mécanismes d’hérédité, de mutation et de sélection sur l’évolution à long terme de la population. Le succès de cette théorie vient notamment de sa capacité à fournir une description de l’évolution à long terme du phénotype dominant dans la population comme solution de « l’Equation Canonique des Dynamiques Adaptatives » dirigée par un gradient de fitness, où la  fitness décrit la possibilité d’invasions mutantes, et est construite à partir de paramètres écologiques.
Deux approches mathématiques principales portant sur l’équation canonique ont été développées à ce jour: une approche basée sur des EDP et une approche stochastique. Malgré son succès, l’approche stochastique est critiquée par des biologistes puisqu’elle est basée sur une hypothèse non-réaliste de mutations trop rares.
Le but est de corriger cette controverse biologique en proposant des modèles probabilistes plus réalistes. Plus précisément, le but est de s’intéresser mathématiquement, sous une double asymptotique de grande population et de petites mutations, aux conséquences d’une nouvelle hypothèse biologique de mutations fréquentes sur l’équation canonique. Il s’agit de déterminer, à partir d’un modèle stochastique individu-centré, le comportement en temps long du trait phénotypique moyen de la population. La question que l’on se pose se reformule en une analyse asymptotique lent-rapide agissant sur deux échelles de temps éco-évolutives. Une échelle lente correspondant à la dynamique du trait moyen et une rapide correspondant à la dynamique d’évolution de la distribution recentrée et dilatée des traits.
Cette analyse asymptotique lent-rapide repose sur des techniques de moyennisation. Cette méthode requiert d’identifier et de caractériser le comportement asymptotique de la composante rapide et que cette dernière possède des propriétés d’ergodicité. Plus précisément, le comportement en temps long de la composante rapide est non-classique et correspond à celui d’une diffusion à valeurs mesures originale qui s’interprète comme un processus de Fleming-Viot recentré que l’on caractérise comme l’unique solution d’un certain problème de martingale. Une partie de ces résultats repose sur une relation de dualité portant sur ce processus non-classique et nécessite des conditions de moments sur les données initiales. Au moyen de techniques de couplage et de la correspondance entre les processus particulaires de Moran et les généalogies de Kingman, on établit que le processus de Fleming-Viot recentré satisfait une propriété d’ergodicité avec résultat de convergence exponentielle en variation totale.
La mise en oeuvre des méthodes de moyennisation, inspirée par Kurtz, est fondée sur des arguments de compacité-unicité. L’idée consiste à prouver la compacité des lois du couple constitué de la composante lente et de la mesure d’occupation de la composante rapide puis d’établir un problème de martingale pour tous points d’accumulation de la famille des lois de ce couple. La dernière étape consiste à identifier ces points d’accumulation. Cette méthode requiert notamment l’introduction de temps d’arrêt pour contrôler les moments de la composante rapide et de prouver qu’ils tendent vers l’infini à l’aide d’arguments de grandes déviations, de réduire le problème posé initialement sur la droite réelle au cas du tore afin de prouver la compacité, d’identifier la limite de la composante rapide en adaptant un argument basé sur la dualité de Dawson, d’identifier la limite de la composante lente puis de passer du tore à la droite réelle.

Probabilistic structures emerging from dormancy

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 27 septembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Jochen Blath (Frankfurt) Résumé :

Dormancy is a complex trait that has evolved independently many times across the tree of life. In particular many micro-organisms can enter a reversible state of vanishing metabolic activity. The corresponding dormancy periods can range from a few hours to potentially thousands of years. Also, the dormancy transitioning mechanisms are highly diverse, including spontaneous dormancy initiation and resuscitation, responsive switching due to environmental cues, and competition-induced dormancy initiation. In general, dormancy allows a population to maintain a reservoir of genotypic and phenotypic diversity (that is, a seed bank) that can contribute to its longterm survival and coexistence. In this talk, we review some of the probabilistic structures that emerge from stochastic individual based models involving dormancy.


Réunion d'équipe

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 28 septembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Pascal Moyal Résumé :

La réunion d’équipe de la rentrée


BPHZ theorem on regularity-integrability structures

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 28 septembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Masato Hoshino (Osaka University) Résumé :

In the study of singular SPDEs, it has been a challenging problem to obtain a simple proof of a general probabilistic convergence result (BPHZ theorem). Differently from Chandra and Hairer’s Feynman diagram approach, Linares, Otto, Tempelmayr, and Tsatsoulis recently proposed an inductive proof based on the spectral gap inequality by using their multiindex language. Inspired by their approach, Hairer and Steele also obtained an inductive proof by using the regularity structure language. In this talk, we introduce an extension of the regularity structure including integrability exponents and provide a simpler proof of BPHZ theorem.
This talk is based on a joint work with Ismael Bailleul (Univ Brest).


Processus renforcés, champs aléatoires et limites d'échelle

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 5 octobre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentin Rapenne (IECL) Résumé :

Le Processus de saut renforcé par sommet (VRJP en raison de son acronyme anglais) est un processus aléatoire en temps continu auto-renforcé défini sur un graphe : plus il passe par un sommet, plus il est probable qu’il y revienne à l’avenir. Depuis les travaux de Sabot et Tarrès, on sait que le VRJP peut être vu comme un processus Markovien en environnement aléatoire. Cet environnement est caractérisé par un certain champ aléatoire U qui, étonnamment, était déjà connu par les physiciens en tant que modèle sigma super-symétrique H^{(2|2)}, un objet important en physique quantique. Par un changement de variable, on peut ramener l’étude du champ U à celle d’un autre champ beta. Ce champ beta permet de définir un opérateur de Schrödinger aléatoire H dont les propriétés sont reliées au VRJP. H est notamment inversible et son inverse G permet de retrouver l’environnement du VRJP. Dans cet exposé, nous expliquerons ce cheminement allant du VRJP vers les champs aléatoires et nous expliquerons les résultats connus sur ces champs et sur le VRJP. Pour finir, nous parlerons d’un résultat plus récent établissant la limite d’échelle de G sur le cercle. Cela permet de définir un opérateur de Schrödinger aléatoire continu analogue à H sur le cercle.


Normal Approximation of Poisson Functionals via Malliavin-Stein Method

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 12 octobre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Tara Trauthwein (Université du Luxembourg) Résumé :

Imagine a collection of randomly distributed points in space, and build a graph on it according to some rules. We now take the sum of all edge lengths and want to know if this sum verifies a central limit theorem. In our context, the random collection of points is given by a Poisson measure and the sum of edge lengths is an example of a Poisson functional. In this talk, using the so-called Malliavin-Stein method, we show a result which allows us to derive central limit theorems, as well as speeds of convergence, for functionals of general Poisson measures, under minimal moment assumptions. Our main application is the closure of a conjecture about a convergence result of the Online Nearest Neighbour Graph.


Stochastic dynamic matching – A mixed graph-theory and linear-algebra approach

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 19 octobre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Céline Comte (LAAS-CNRS Toulouse) Résumé :

The stochastic dynamic matching problem has recently drawn attention in the stochastic-modeling community due to its numerous applications, ranging from supply-chain management to kidney exchange programs. In this presentation, we consider a matching problem in which items of different classes arrive according to independent Poisson processes, unmatched items are stored in a queue, and compatibility constraints are described by a simple graph on the classes, so that two items can be matched if their classes are neighbors in the graph. We analyze the efficiency of matching policies, not only in terms of system stability, but also in terms of matching rates between different classes. Our results rely on the observation that, under any stable policy, the matching rates satisfy a conservation equation that equates the arrival and departure rates of each item class.

This presentation is based on a joint work with Fabien Mathieu (LINCS) and Ana Bušić (Inria and PSL University). A preprint is available at the following address: https://arxiv.org/abs/2112.14457.


Modelling populations expanding in a spatial continuum

Catégorie d'évènement : Probabilités et Statistique Date/heure : 20 octobre 2023 11:00-12:00 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Apolline Louvet (University of Bath) Résumé :

Spatial Λ-Fleming Viot processes, or SLFVs, are a family of models describing the evolution of genetic diversity for populations living in a spatial continuum. Their main characteristic is their « event-based » reproduction dynamics, which makes it possible to control local reproduction rates. Therefore, they are particularly suited to the study of populations living in unbounded regions.
In this talk, I will introduce a family of SLFV processes, called k-parent SLFVs, which were developed to model spatially expanding populations. I will present what is currently known of the growth properties of the occupied area in k-parent SLFVs. Of particular interest is the growth dynamics of the limiting process when k→ +∞, which is reminiscent of continuous first-passage percolation but has distinct growth features. I will conclude with preliminary results obtained on the genetic diversity at the front edge.
Based on a joint work with Amandine Véber (MAP5, Univ. Paris Cité) and Matt Roberts (Univ. Bath).


Que se passe-t-il autour d'un vide extrême ? (I)

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Rémi Peyre Résumé :

Forme asymptotique des trous dans une percolation booléenne de grand paramètre

La mosaïque de Poisson-Voronoï est un objet classique en géométrie aléatoire : on jette des « germes » de façon poissonnienne dans l’espace euclidien ℝd ; et à chaque germe, on associe la « cellule » des points de l’espace situés plus près de lui que de n’importe quel autre germe. (Ce qui, au passage, donne lieu à de jolis dessins 😇). On peut alors chercher à comprendre les « phénomènes extrêmaux » d’un tel processus aléatoire, à savoir, répondre aux questions du type : lorsqu’une cellule possède un comportement extraordinaire, conditionnellement à cela, à quoi ressemble-t-elle ? Cette problématique a notamment été étudiée par Pierre CALKA et Nicolas CHENAVIER.

Ici nous nous intéressons aux cellules de très grand circumrayon, c’est-à-dire, les cellules dont une partie du bord est située à distance > R du germe pour un R très grand. L’existence d’une telle cellule est équivalente à dire qu’il y a dans l’espace une boule de rayon R entièrement vide de germes. Or, dans un tel cas, à ce vide sont toujours associées plusieurs (au moins d + 1) cellules de grand circumrayon. Mais combien au juste ? Il se trouve que, lorsqu’on fait tendre R vers l’infini, la loi du nombre de cellules dans un tel « agrégat » de cellules de grand circumrayon converge vers une limite qui n’est pas dégénérée (pour d > 1)… mais dont le comportement est encore mal compris !

Dans cette paire d’exposés, je vais raconter comment j’ai étudié cette loi-limite du nombre d’agrégats, via des objets géométriques aléatoires qui sont intéressants en tant que tels. L’étude de ces objets, ainsi que leur simulation, fait intervenir plusieurs idées intéressantes. Mon but ultime sera notamment de vous expliquer comment je suis parvenu à démontrer que l’espérance du nombre de cellules dans un agrégat (qu’on appelle, dans le jargon, « l’inverse de l’indice extrêmal ») vaut 2d, confirmant et généralisant une conjecture émise par P. Calka il y a une dizaine d’années.

Ce premier exposé sera plus spécifiquement consacré à l’étude asymptotique de la forme des zones situées à distance plus de R de tout germe : nous montrerons comment une renormalisation appropriée permet d’obtenir une convergence de cette forme vers une loi de probabilité non triviale, loi que nous définirons rigoureusement.


Un phénomène de concentration en géométrie combinatoire

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 9 novembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Xavier Goaoc (Gamble, LORIA) Résumé :

Le type d’ordre d’une séquence de points du plan est une généralisation de la permutation associée à une séquence de nombres réels. Cette objet combinatoire encode de nombreuses propriétés géométriques de la séquence de points, par exemple le treillis des faces de son enveloppe convexe, ou encore les triangulations qu’elle supporte. Cet exposé commencera par une rapide introduction à ces objets. Je discuterai ensuite d’un phénomène de concentration qui apparaît lorsque l’on lit les types d’ordres de séquences de points aléatoires, pour divers modèles naturels. Cette concentration rend difficile une bonne exploration aléatoire de ces structures.

Ceci est un travail conjoint avec Emo Welzl

https://dl.acm.org/doi/10.1145/3570636
https://arxiv.org/abs/2003.08456


Que se passe-t-il autour d'un vide extrême ? (II) Étude de la distribution aléatoire sur les polytopes décrivant les trous d'une percolation booléenne de très grand paramètre.

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 16 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Rémi Peyre Résumé :

Cet exposé, bien que s’inscrivant dans la continuité de celui de la semaine dernière, devrait néanmoins pouvoir être suivi sans souci majeur même par ceux n’y ayant pas assisté.

La semaine dernière, nous avons motivé l’introduction d’une certaine distribution de probabilité P à valeurs dans les polytopes d-dimensionnels, distribution que nous avons introduite comme décrivant, en régime asymptotique, la forme des trous qui subsistent lorsqu’on procède à une « percolation booléenne » de très grand paramètre dans ℝd (ce qui consiste à jeter au hasard dans l’espace un très grand nombre de boules interpénétrables). Après avoir rappelé brièvement la description rigoureuse de P, cet exposé sera consacré à l’étude de ses propriétés.

La première question qui nous préoccupera consistera à simuler “directement” P : en effet, la définition que nous avons donnée la semaine dernière ne permettait pas de construire facilement la loi P, mais seulement la loi Q déduite de la précédente en la biaisant par le volume du polytope. Or il se trouve qu’il existe aussi un moyen de décrire P sans passer par une telle mesure biaisée : ce qui permet non seulement d’en faire des simulations, mais surtout de disposer d’une approche plus commode pour en étudier les propriétés ! Cela nous permettra notamment de déterminer le volume moyen des polytopes tirés selon P : quantité qui est directement liée à la densité des trous dans la percolation booléenne.

La question du nombre moyen d’hyperfaces des polytopes tirés selon P est quant à elle liée à l’« indice extrêmal » des cellules de Voronoï de grand circumrayon — je rappellerai ce que tout cela signifie. Je présenterai à ce sujet une idée nouvelle que j’ai eue il y a quelques mois, qui a permis de résoudre et de généraliser une conjecture émise par Pierre CALKA il y a une dizaine d’années : en dimension 2, le nombre moyen de côtés de notre polygone aléatoire vaut 4, et plus généralement en dimension d, le nombre d’hyperfaces du polytope vaut 2d 😀

Enfin, je présenterai quelques autres caractéristiques de la distribution P que je suis arrivé à calculer. Un phénomène remarquable semble se dessiner : pour toutes les valeurs de d et j où j’ai su mener les calculs à bien, le nombre moyen de j-faces du polytope aléatoire de dimension d se trouve être égal au nombre de j-faces du d-hypercube ! Je vous partage cette conjecture avec d’autant plus d’intérêt que je n’en ai pris conscience que le soir après mon premier exposé…! 😋


Théorème limite central fonctionnel et loi des grands nombres pour des U-statistiques à valeur dans un espace de Hilbert

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 16 novembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Davide Giraudo (Université de Strasbourg) Résumé :

Après avoir introduit les U-statistiques de données indépendantes, le théorème limite central fonctionnel et la loi des grands nombres correspondantes, nous présenterons des résultats récents pour des U-statistiques basées sur des suites stationnaires dépendantes à valeurs dans un espace métrique séparable. Nous traiterons le cas des suites beta-mélangeantes (qui se prêtent bien au couplage) ainsi que celui des U-statistiques à valeurs dans un espace de Hilbert. Ces dernières se révèlent utiles dans certains tests statistiques.


Énumération de cartes et polynômes de Jack.

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 23 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Houcine Ben Dali (IECL et IRIF Paris) Résumé :
Les cartes combinatoires sont des graphes plongés sur des surface orientables ou non. La théorie de représentation du groupe symétrique permet d’établir plusieurs connexions entre les séries génératrices de cartes et les fonctions de Schur, qui sont une famille de fonction symétriques. Je m’intéresse à deux familles de conjectures qui lient les polynômes de Jack, une déformation à un paramètre des fonctions de Schur, à des séries génératrices de cartes  comptées avec un poids de « non orientabilité ».
Dans cet exposé, je présente une interprétation combinatoire pour les polynômes de Jack en termes de cartes non orientables à niveaux. Ce résultat généralise une formule pour les caractères du groupe symétrique conjecturée par Stanley et démontré par Féray en 2010. Cet exposé repose sur un travail effectué en collaboration avec Maciej Dołęga.

Spectral estimation for Hawkes processes

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 23 novembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Felix Cheysson (Université Gustave Eiffel) Résumé :

Hawkes processes are a family of point processes for which the occurrence of any event increases the probability of further events occurring. Although the linear Hawkes process, for which a representation in the form of a superposition of branching processes exists, is particularly well studied, difficulties remain in estimating the parameters of the process from imperfect data (noisy, missing or aggregated data), since the usual estimation methods based on maximum likelihood or least squares do not necessarily offer theoretical guarantees or are numerically too costly.
In this work, we propose a spectral approach well-adapted to this context, for which we prove consistency and asymptotic normality. In order to derive these properties, we show that Hawkes processes can be studied through the scope of mixing, opening the use of central limit theorems that already exist in the literature.
I will then present two applications of this approach: to aggregated data (joint work with Gabriel Lang); and to noisy data (joint work with Anna Bonnet, Miguel Martinez and Maxime Sangnier).


Phase transitions of the graphical representations of the Ising model

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 30 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Frederik Ravn Klausen (University of Copenhagen) Résumé :

After much success in using the double random current representation in the study of the Ising model, Duminil-Copin posed the question in 2016 of determining the (percolative) phase transition of the single random current. By relating the single random current to the loop O(1) model (also known as the high-temperature expansion and Eulerian percolation), we prove polynomial lower bounds for path probabilities (and infinite expectation of cluster sizes) for both the single random current and loop O(1) model corresponding to any supercritical Ising model on the hypercubic lattice. Thereby partially resolving the posed question.

In this talk, I will gently introduce graphical representations of the Ising model, their monotonicity properties and relations through Bernoulli sprinkling and the uniform even subgraph. Afterward, we discuss new results whose surprising proof takes inspiration from the toric code in quantum theory. Based on joint work with Ulrik Tinggaard Hansen and Boris Kjær: https://arxiv.org/abs/2306.05130.


Quelle est la probabilité que les Spartiates aient été de bons cuisiniers ?

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 30 novembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Pierre Mercuriali (IECL) Résumé :
Nous cherchons à comprendre et à automatiser la manière dont les historiens comprennent un texte historique. Partons du principe que lors de la lecture du texte, un historien manipule un ensemble d’hypothèses desquelles découlent autant de mondes possibles : si Caton est né à une certaine date, alors son parcours académique est exemplaire et correspond aux standards de l’époque ; sinon, son parcours est significatif en ce sens qu’il est unique parmi ses pairs.
Je montrerai en quoi les logiques modales, auxquelles on attribue une sémantique probabiliste, peuvent modéliser un ensemble d’hypothèses de nature historique. J’illustrerai par un cas test sur la Politique d’Aristote et, en particulier, la notion de «συσσιτία», ou de « réunion de convives ».

Quelle est la probabilité qu'une formule soit plus simple qu'une autre ?

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 7 décembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Pierre Mercuriali (IECL) Résumé :

Je présente ici certains travaux que j’ai effectués lors de ma thèse sur les représentations efficaces de fonctions Booléennes, ainsi que certaines explorations probabilistes que j’ai menées par la suite. Nous pouvons définir une fonction Booléenne {0,1}^n -> {0,1} par sa table de vérité, ce qui est en général plus coûteux que d’en donner une formule, e.g., en forme normale disjonctive ou conjonctive. Je présenterai un cadre de travail général qui permet de comparer, en termes de coût, les différentes manières de définir ces formes normales. La comparaison de certaines formes normales est un problème ouvert. Afin d’y répondre, je présenterai une extension de ce cadre de travail pour étudier la distribution des tailles des formules Booléennes minimales, étant données des contraintes structurelles fortes.


Correlated noises in stochastic differential equations

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 7 décembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Xue-Mei Li (Imperial College London & EPFL) Résumé :

It is a standard assumption that the Gaussian noises in stochastic systems are white in time and white space. This means that the noise at different point in space or in time are assumed to be uncorrelated. This leads to the Ito theory of integration. However, some time series data and other data indicate otherwise, some even exhibits long range dependence. In SDEs these imply that neither the Markov theory nor its martingale characterisation can be relied on. In SPDEs, the difficulty of irregularity coming from the white noise can be mitigated if they are replaced by smooth correlated noise. But other problems arrive. In this talk we shall explore these models and some phenomenons. New, as well as old, techniques in Stochastic Analysis will be explored.


La limite locale des arbres pondérés exponentiellement par la hauteur

Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 14 décembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Meltem Unel (Orsay) Résumé :
Le cas le plus simple et peut-être le plus naturel des limites locales des arbres est Uniform Infinite Planar Tree: on commence par la suite des mesures de probabilité uniforme \nu_N dont le support est l’ensemble des arbres plans enracinés de taille N et on étudie la limite faible \nu de cette suite, dont le support est l’ensemble des arbres plans enracinés de taille infinie.
Une modification naturelle dans la recherche des limites différentes est de pondérer les arbres : est-ce que la nouvelle suite des mesures \rho_N, par rapport à laquelle la valuer d’un arbre de taille N est proportionnelle à son poids, admet une limite faible ?
Dans cet exposé, on considère des arbres planes enracinés dont la distribution est uniforme pour une hauteur h et une taille N fixée et dont la dépendance à la hauteur est de forme exponentielle, \exp(-\mu h), pour \mu réel. En définissant le poids total de ces arbres de taille N fixe comme Z^{\mu}_N, on détermine son comportement asymptotique pour N grand, pour \mu réel quelconque. Finalement, on identifie la limite locale des mesures de probabilité correspondantes et trouve une transition à \mu=0 d’une phase à une seule épine à une phase à plusieurs épines (backbone). En conséquence, il y a une transition dans le taux de croissance du volume des boules autour de la racine en fonction du rayon, passant d’une croissance linéaire pour \mu < 0 à la croissance quadratique familière à \mu=0 et à une croissance cubique pour \mu > 0.