Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Decomposing functions in terms of higher-order harmonics is a central topic in higher-order Fourier analysis. In its simplest form, such a decomposition is as follows. For a bounded function defined on a finite abelian group $f: Z\to \mathbb{C}$, we write it as $f=f_s+f_r+f_e$ where: $f_s$ is the sum of “a few” Fourier characters with large amplitudes, $f_r$ is a function whose largest Fourier amplitude is “small” (which is the same as having a small Gowers $U^2$ norm), and $f_e$ is small in $L^2$. Higher-order analogues where we ask $f_r$ to be small in the Gowers $U^d$ norm for $d\ge 3$ are interesting as we may use them to, e.g., prove Szemerédi’s theorem with good quantitative bounds. Many results guarantee that such a decomposition exists, but few are implementable in applied scenarios. In this talk, we will present a practical approach to finding such a decomposition in the $U^3$ case and demonstrate its performance on synthetic data.

Vincent Lafforgue a montré que tout coefficient matriciel SO(2)-fini d’une représentation unitaire de SO(3) est 1/2-Hölderien – en dehors de certains points singuliers. Ce seul résultat joue un rôle important dans la preuve de la propriété (T) renforcée pour SL(3,R) et d’autres avancées récentes en algèbre d’opérateurs. Dans cet exposé, j’expliquerai comment ce résultat de régularité peut s’interpréter en terme de paires de Gelfand et de fonctions sphériques. Grâce à cela, je montrerai qu’on peut le généraliser à tous les groupes de Lie semi-simples en étudiant le comportement asymptotique de ces fonctions. Dans le cas non-compact, la structure des groupes de Lie en donne une représentation intégrale aisément manipulable. Le cas compact est étonnement plus difficile et nécessite de passer par l’analyse complexe.

Nous étudions les nombres premiers avec l’ordre de leurs chiffres inversé (poci). Les nombres premiers palindromiques sont des exemples dont l’écriture inversée est également un nombre premier, mais tous les pocis n’est sont pas premiers. Nous démontrons l’infinitude des pocis dans toute progression arithmétique satisfaisant certains conditions simples. C’est un travail en collaboration avec Yuta Suzuki.

Let G be a semisimple real Lie group with Lie algebra g. We will show how the universal enveloping algebra U(g) naturally fits into a one-parameter family of algebras U_q(g) with interesting structure. Any of these algebras U_q(g) moreover allows for an associated C*-algebra, whose representation category closely resembles that of G. We mainly explain these ideas and results in the concrete case of SL(2,R). This is based on joint work with Joel Right Dzokou Talla.

Si l’on se fixe une variété abélienne définie sur un corps de nombre $K$, alors sa classe d’isogénie (l’ensemble des variétés abéliennes qui lui sont isogènes sur $K$) est un ensemble fini: c’est l’un des théorèmes fondamentaux de géométrie arithmétique dus à Faltings. Dans le cas particulier des courbes elliptiques définies sur $K = \mathbb{Q}$, on sait exactement à quoi ressemblent ces classes d’isogénies, mais une telle classification est hors de portée en dimensions supérieures. Dans cet exposé, je parlerai d’un algorithme efficace de calcul de classes d’isogénie dans le cas “le plus simple” des surfaces abéliennes sur $\mathbb{Q}$, fondé sur l’utilisation des fonctions thêta de Riemann. Cet algorithme a permis pour la première fois de calculer de nombreux exemples de classes d’isogénies. Il s’agit d’un travail en commun avec Raymond van Bommel, Shiva Chidambaram et Edgar Costa.

I will talk about a refinement of the Connes-Kasparov isomorphism, which is proved by understanding the structure of the Casselman algebra of rapidly decreasing functions on a real reductive group. I show that this Casselman algebra, which encodes nonunitary representation theory, and the reduced group C^*-algebra, which encodes tempered unitary representation theory, are built in very similar ways from similar elementary components. The structure of the Casselman algebra is understood using techniques from Delorme’s proof of the Paley-Wiener theorem for real reductive groups, which describes the Fourier transform of compactly supported smooth functions. Thanks to the similar structures of the two algebras, it becomes straightforward to prove that the two algebras, once cut down to certain finite sets of K-types, have isomorphic K-theory, which is the refinement of Connes-Kasparov. This work is essentially my thesis at Penn State.

In this talk, we will discuss the Gaussian behaviour of small quadratic non-residues for almost all primes in short intervals. We will begin with some background on quadratic non-residues and then briefly outline the proof. The proof uses the method of moments in conjunction with sieve methods and algebraic inputs from counting solutions of polynomial equations. This is joint work with Debmalya Basak and Alexandru Zaharescu.

Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

We consider the problem of quantizing the positive nilradical of a complex semisimple Lie algebra of finite rank, together with a certain fixed direct sum decomposition. The decompositions we consider are in one-to-one correspondence with total orders on the simple roots, and exhibit the nilradical as a direct sum of graded modules for appropriate Levi factors. We show that this situation can be quantized equivariantly as a finite-dimensional subspace within the positive part of the corresponding quantized enveloping algebra. Furthermore, we show that such subspaces give rise to left coideals, with the possible exception of components corresponding to some exceptional Lie algebras, and this property singles them out uniquely. Finally, we discuss how to use these quantizations to construct covariant first-order differential calculi on quantum flag manifolds, which coincide with those introduced by Heckenberger-Kolb in the irreducible case.