Séminaire de Géométrie complexe

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.

titres et résumés à venir

Geometric methods in computational complexity

It is known since Wierzba–Wisniewski’s work in 2003 that a birational map between holomorphic symplectic fourfolds is a composition of Mukai flops. Hu and Yau conjectured that in any dimension, a birational map is a composition of Mukai elementary transformations in codimension two, that is, maps which locally look like a product of a 4-dimensional Mukai flop and the identity on a polydisc, « up to codimension three or higher ». Call  a birational map f from X to X’ a « Hu-Yau transformation » , if there are proper closed subsets Z, Z’ of codimension three or higher such that f induces a Mukai transformation in codimension two between X\Z and X’\Z’. We show that any birational map between irreducible holomorphic symplectic manifolds is a product of Hu-Yau transformations, and give an example showing that a stronger version of the conjecture cannot be true: it is in general not possible to decompose a given map into a product of Mukai elementary transformation after discarding some codimension three closed subsets from the source and the target.

La conjecture standard de type Hodge prédit la positivité de certaines formes d’intersections sur les cycles algébriques. Cette conjecture est connue en caractéristique 0 via les relations de Hodge-Riemann bilinéaires. Dans cet exposé, on s’intéressera à des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique positive, en particulier au cas des puissances de variétés abéliennes de dimension 3.

Titre : Groupes de Kac–Moody–Steinberg et quotients simples finis

Résumé : Dans cet exposé, je parlerai d'un groupe obtenu comme l'amalgame d'un triangle de petits groupes matriciels, 
et présenterai notamment un résultat sur ses quotients simples finis. Je motiverai l'étude de ce groupe et de ses quotients 
dans le contexte d'une question de Gromov, qui demande si tous les groupes hyperboliques sont résiduellement finis.
 Ensuite, j'illustrerai les outils, liés à la théorie des groupes de Kac–Moody, qui sont utilisés pour la construction de 
ces quotients.

Présentation et unicité de groupes de Kac-Moody sur les anneaux locaux

A chaque matrice de Cartan généralisée (GCM) $A$ et chaque anneau $R$, Jacques Tits a associé un groupe de Kac-Moody $G_A(R)$ défini par une présentation à la Steinberg généralisant celle des groupes de Chevalley. Dans ce travail en collaboration avec Bernhard Mühlherr, nous avons exploré la question suivante : pour un domaine $R$ de corps de fractions $K$, l’application canonique $\phi_R : G_A(R)\to G_A(K)$ est-elle injective ? Cette question a une longue histoire dans le cas classique où $A$ est une matrice de Cartan ; notre résultat principal est que l’application $\phi_R$ est injective dès que $A$ est une GCM $2$-sphérique et $R$ est un anneau de valuation.

Dans la première partie de l’exposé, j’énoncerai précisément ce théorème, et en présenterai le contexte et introduirai les notions nécessaires à sa compréhension. Dans la deuxième partie de l’exposé, j’expliquerai l’idée de base de la preuve et la raison des hypothèses faites sur $A$ et $R$. L’objectif est que les deux parties soient accessibles pour un public non-spécialiste.

Les espaces de rêve de Mori forment une classe de variétés algébriques qui jouent un rôle important en géométrie birationnelle, car elles présentent un comportement idéal dans le cadre du programme des modèles minimaux. Dans la première partie de cet exposé, nous discutons de la géométrie birationnelle de certaines hypersurfaces, et lorsque ces
hypersurfaces sont des Mori dream spaces, nous déterminons complètement leur géométrie birationnelle. Dans la seconde partie, nous examinons le comportement de la propriété « être un espace de rêve de Mori » dans des familles de variétés symplectiques holomorphes irréductibles.

Le but de cet exposé est d’étudier les propriétés d’hyperbolicité des bases de familles de variétés hyperkählériennes à variation maximale. Lorsque la famille est kählérienne, le théorème de Torelli local, combiné aux travaux de Griffiths sur les variations de structures de Hodge, implique que la base est hyperbolique au sens de Kobayashi. En revanche, lorsque la famille n’est pas kählérienne, la base peut ne pas être hyperbolique, comme le montrent les exemples fournis par les familles de twisteur. On s’intéressera au cas des familles non nécessairement kählériennes, mais dont le fibré de Hodge possède des propriétés de positivité analogues à celles du cas kählérien. Pour aborder cette question, nous introduirons une variante de la pseudo-distance de Kobayashi sur l’espace de modules des variétés hyperkählériennes marquées, adaptée à ce contexte, dont nous montrerons l’annulation.