Geometric methods in computational complexity

titres et résumés à venir

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Titre : Groupes de Kac–Moody–Steinberg et quotients simples finis

Résumé : Dans cet exposé, je parlerai d'un groupe obtenu comme l'amalgame d'un triangle de petits groupes matriciels, 
et présenterai notamment un résultat sur ses quotients simples finis. Je motiverai l'étude de ce groupe et de ses quotients 
dans le contexte d'une question de Gromov, qui demande si tous les groupes hyperboliques sont résiduellement finis.
 Ensuite, j'illustrerai les outils, liés à la théorie des groupes de Kac–Moody, qui sont utilisés pour la construction de 
ces quotients.

Présentation et unicité de groupes de Kac-Moody sur les anneaux locaux

A chaque matrice de Cartan généralisée (GCM) $A$ et chaque anneau $R$, Jacques Tits a associé un groupe de Kac-Moody $G_A(R)$ défini par une présentation à la Steinberg généralisant celle des groupes de Chevalley. Dans ce travail en collaboration avec Bernhard Mühlherr, nous avons exploré la question suivante : pour un domaine $R$ de corps de fractions $K$, l’application canonique $\phi_R : G_A(R)\to G_A(K)$ est-elle injective ? Cette question a une longue histoire dans le cas classique où $A$ est une matrice de Cartan ; notre résultat principal est que l’application $\phi_R$ est injective dès que $A$ est une GCM $2$-sphérique et $R$ est un anneau de valuation.

Dans la première partie de l’exposé, j’énoncerai précisément ce théorème, et en présenterai le contexte et introduirai les notions nécessaires à sa compréhension. Dans la deuxième partie de l’exposé, j’expliquerai l’idée de base de la preuve et la raison des hypothèses faites sur $A$ et $R$. L’objectif est que les deux parties soient accessibles pour un public non-spécialiste.

Les espaces de rêve de Mori forment une classe de variétés algébriques qui jouent un rôle important en géométrie birationnelle, car elles présentent un comportement idéal dans le cadre du programme des modèles minimaux. Dans la première partie de cet exposé, nous discutons de la géométrie birationnelle de certaines hypersurfaces, et lorsque ces
hypersurfaces sont des Mori dream spaces, nous déterminons complètement leur géométrie birationnelle. Dans la seconde partie, nous examinons le comportement de la propriété « être un espace de rêve de Mori » dans des familles de variétés symplectiques holomorphes irréductibles.

Le but de cet exposé est d’étudier les propriétés d’hyperbolicité des bases de familles de variétés hyperkählériennes à variation maximale. Lorsque la famille est kählérienne, le théorème de Torelli local, combiné aux travaux de Griffiths sur les variations de structures de Hodge, implique que la base est hyperbolique au sens de Kobayashi. En revanche, lorsque la famille n’est pas kählérienne, la base peut ne pas être hyperbolique, comme le montrent les exemples fournis par les familles de twisteur. On s’intéressera au cas des familles non nécessairement kählériennes, mais dont le fibré de Hodge possède des propriétés de positivité analogues à celles du cas kählérien. Pour aborder cette question, nous introduirons une variante de la pseudo-distance de Kobayashi sur l’espace de modules des variétés hyperkählériennes marquées, adaptée à ce contexte, dont nous montrerons l’annulation.

Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

In this talk, I will present recent joint work with S.~Matsumura, J.~Wang, and X.~Wu on the structure of compact Kähler manifolds whose anti-canonical bundle is nef. We establish a general structure theorem in the Kähler setting, showing that X admits a locally trivial fibration whose fibers are rationally connected and whose base has vanishing first Chern class. Our approach extends the method of Cao–Höring from the projective to the Kähler case, requiring new tools such as a flatness criterion for pseudo-effective sheaves and a refined analysis of direct image sheaves equipped with singular Hermitian metrics. I will also discuss the application, about the generalization of the Beauville–Bogomolov decomposition.

IPVTs and applications

I will discuss limits in low intensity of Poisson-Voronoi tessellations, which we called ideal Poisson-Voronoi tessellations (IPVTs).

In the colloquium part, I will focus on the IPVT of real hyperbolic space of dimension d, where a simple Poissonian description of the cell containing the origin enables an in-depth study of the geometric features of its tiles.

In the research seminar part, I will discuss sufficient conditions for convergence toward IPVTs in a general metric space, and illustrate them for the Cartesian product of two hyperbolic planes endowed with the $L^1$ metric. Then I will discuss an application to proving the smallness of the uniqueness threshold of Poisson/Bernoulli–Voronoi percolation on spaces with a non-amenable product structure.

Based on joint works with Nicolas Curien, Nathanaël Enriquez, Russell Lyons, Meltem Ünel (2303.16831, to appear on The Annals of Probability), on 2412.00822, and on incoming works with Ali Khezeli and with Jan Grebik, Ali Khezeli, Konstantin Recke, and Amanda Wilkens.

EPW cubes are six-dimensional projective hyper-Kähler varieties constructed by Iliev, Kapustka, Kapustka, and Ranestad. Their construction and properties share many similarities with the double EPW sextics introduced by O’Grady. Both double EPW sextics and EPW cubes belong to the few known families of hyper-Kähler varieties for which one can give a geometric description of a general element in the moduli space. Moreover, both admit an anti-symplectic involution whose fixed locus is a Lagrangian submanifold.

In this talk we will review the theory of hyper-Kähler varieties and the role of Lagrangian subvarieties. We will then talk about EPW cubes, and present some recent results on the fixed locus of the anti-symplectic involution.

At the beginning of the 20th century, it was known that any compact connected, simply connected Riemann surface is biholomorphic to the projective line.
Subsequently, several characterizations of projective spaces were established. For instance, Siu and Yau stated that projective spaces are the only Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, and Mori proved that they are the only projective manifolds that have an ample tangent bundle. In a different direction, projective spaces are the only Kähler–Einstein manifolds with a positive constant satisfying the equality in the Miyaoka–Yau inequality. This result originating from uniformization theory was generalized in the singular setting by Greb, Kebekus, Peternell and Druel, Guenancia, Păun. More precisely, they characterize singular quotients of $\mathbb{P}^n$ by finite groups acting freely in codimension 1. The aim of this talk is to discuss a generalization of Greb–Kebekus–Peternell’s result in order to characterize quotients of $\mathbb{P}^n$ by any group action.

Entre variétés à canonique trivial de la même dimension il y a très peu de morphismes dominants, car ils ne peuvent pas ramifier. Par contre, il y a beaucoup d’applications rationnelles dominantes. Parmi elles, celles qui sont Galoisiennes sont les plus géométriques, car elles permettent de voir le codomaine comme un quotient du domaine par un groupe fini (à birationalités près). Nous allons examiner quelles sont les restrictions que la géométrie d’une variété projective lisse avec canonique trivial impose sur ses revêtements rationnels Galoisiens. On applique ces restrictions aux variétés hyperkählériennes pour comprendre lesquelles peuvent être obtenues comme quotients birationnels d’un groupe fini agissant sur une autre variété à canonique trivial, ce qui donne des restrictions à des questions de Alexeev et Laza.

Mok a déterminé les lieux de base stables et augmentés associés au fibré cotangent d’un quotient compact d’un domaine symétrique borné irréductible. Dans cet exposé, on montre que son résultat se généralise aux quotients non compacts de volume fini. Cela nécessite de considérer des métriques singulières, pour l’étude desquelles on utilise les travaux de Kollár en théorie de Hodge variationnelle. On obtient comme application l’isotrivialité des familles séparables de courbes paramétrées par l’espace des modules des variétés abéliennes sur tout corps, à l’exception d’un nombre fini de caractéristiques positives.

Vers une connectification des immeubles supérieurs

Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps réellement valué, par exemple $G=SL_n(F)$, où $F=k((t))$ pour $n$ un entier naturel et $k$ un corps. Afin d’étudier un tel groupe, Bruhat et Tits lui ont associé un objet de nature géométrico-combinatoire $I(G)$, appelé immeuble de Bruhat-Tits, sur lequel $G$ agit. On peut alors étudier $G$ via son action sur $I(G)$ et transformer une question de nature algébrique en une question plus géométrique. Par exemple si $G=SL_2(k((t)))$, où k est un corps, son immeuble est un arbre homogène de valence $|k|+1$.

Soit maintenant $F$ un corps muni d’une valuation quelconque, c’est à dire non forcément réelle. On peut par exemple prendre $F=k((t_1))((t₂))…((t_m))$, où m est un entier naturel, qui est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans $\mathbb{Z}^m$. Afin d’étudier des groupes réductifs déployés sur de tels corps, Bennett a introduit dans les années 90 une notion d’immeubles supérieurs qui généralise la notion d’immeubles de Bruhat-Tits. Avec Izquierdo et Loisel, nous avons associé à un tel groupe un immeuble supérieur, généralisant ainsi la construction de Bruhat et Tits. Lorsque la valuation est à valeurs réelles, l’immeuble de Bruhat-Tits est connexe et contractile, ce qui permet d’appliquer des techniques de topologie algébrique pour étudier le groupe. En revanche, lorsque la valuation n’est pas réelle (par exemple si $m\geq 2$), l’immeuble n’est pas connexe. Afin de généraliser certains résultats connus pour des valuations réelles, il semble donc utile de « connectifier » l’immeuble c’est à dire de rajouter des points pour le rendre connexe. Je parlerai d’avancées dans cette direction, obtenues avec Bravo, Izquierdo et Loisel.