Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Je proposerai une excursion aux « Fondements mathématiques » (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la « crise des fondements » ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre « On Numbers and Games » (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de « tous les nombres » (« All Numbers Great and Small »). Le terme « nombres surréels », crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper  » Automorphisms of fields of formal power series » (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper « The automorphism group of a valued field of generalised formal power series » (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

La décomposabilité géométrique  pour un groupoïde peut-être vue comme une forme d’implémentation de la technique de « cut-and-pasting » utilisée par G. Yu dans sa preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes de dimension  asymptotique finie.

Dans cet exposé, nous introduirons tout d’abord ce concept de décomposabilité, puis nous établirons le lien avec la dimension asymptotique et plus généralement avec la notion de décomposabilité  à complexité finie pour un espace métrique. Nous donnerons des applications à la moyennabilité des groupoïdes (en particulier à celle des actions de groupes). Si le temps nous le permet nous discuterons d’applications à la calculabilité en K-théorie (en particulier à la conjecture de Baum-Connes).

In the past decades a kind of « quantum mathematics » has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

Lagrange spectrum is related to the rational approximations of badly approximable numbers. The discrete part of the spectrum is denoted in terms of Christoffel words. Multiplicative analogy of Lagrange spectrum was recently investigated, which is defined by rational approximations of geometric sequences and more general linear recurrence. Dubickas essentially found the relation of the discrete part of the multiplicative Lagrange spectrum and the limit sup words on the shift spaces with alternate order. Liao and Steiner found that such words are also related to the negative beta expansions. On this talk, we shall investigate limit sup words on more general ordered shift spaces. Such words are related to generalized beta expansion.

This is a joint work with Wolfgang Steiner.

Un groupe de Lie semisimple G peut être placé dans une famille de déformations qui aboutit dans le groupe de mouvements de Cartan.  Cette idée provient de Mackey avec clarification par Higson et Afgoustidis.  Si G est complexe, sa structure de Poisson-Lie permet une famille de déformations de $G$ dans des groupes quantiques découverts par Drinfeld, Woronowicz et d’autres.  Les deux déformations sont réunis dans des travaux de Monk & Voigt.  Dans cet exposé, j’essayerai de dessiner cette famille de déformations à 2 paramètres ainsi que ses duaux réduites.  Rien ne sera original.  Si le temps et l’enthousiasme le permet, j’ajouterai quelques réflexions speculatives sur le cas réel.

We consider the real hyperbolic space $H^n(R)$ as the symmetric space $\operatorname{Spin}_0(1, n) / \operatorname{Spin}(n)$.
We prove that the Poisson transform is an isomorphism between the space of $L^2$-spinors on the unit sphere $S^{n-1}$ and a certain weighted $L^2$-space consisting of joint eigenspinors on $H^n(R)$. For this purpose, we prove a Fourier restriction estimate and an asymptotic formula for the Poisson transform.
As a consequence we prove a characterization for the generalized spectral projections.
This is a joint work with A. Boussejra.

Nous étudions la taille des ensembles de points dans l’intervalle unitaire dont les orbites sous les systèmes dynamiques x2 et x3 tombent simultanément dans une famille donnée de boules rétrécissantes (cibles rétrécissantes). Une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles est établie. La formule des dimensions de Hausdorff est également obtenue lorsque les rayons des boules diminuent de façon exponentielle. Nous soulignons qu’une partie de la formule dimensionnelle est établie en admettant la fameuse conjecture abc. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

Let $G$ be a finite pseudo-reflection group and $\Omega$ be a bounded domain in $\mathbb C^d$ which is $G$-invariant. The quotient domain $\Omega/G,$ is biholomorphically equivalent to a domain ${{\boldsymbol \theta}} (\Omega)$ where ${{\boldsymbol \theta}} : \Omega \to {{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ is a basic polynomial map. Prominent example of a quotient domain is the symmetrized polydisc $\mathbb G_d$ in $\mathbb C^d.$ In this case, the basic polynomial map is given by $z \to (s_1(z), s_2(z), \cdots s_d(z))$ from $\mathbb D^d$ (unit polydisc in $\mathbb C^d$) to $\mathbb G_d$ where $s_j(z)$ is the $j$-th elementary symmetric polynomial. We study properties of Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on ${{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ by establishing a connection of them with Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on $\Omega.$ Results on zero product problem and commuting pairs of Toeplitz operators will be explained. Representation theory of $G$ and projections to isotypic components play an important role in our results. (Joint work with Gargi Ghosh)

Les suites de Bernstein-Gelfand-Gelfand trouvent leur origine en théorie des représentations des groupes de Lie semi-simples. Divers travaux leur ont ensuite donné une interprétation géométrique comme suite d’opérateurs différentiels sur certains espaces homogènes. Ce point de vue a permis à Čap, Slovák et Souček de les généraliser aux variétés possédant une géométrie parabolique au sens de Cartan. Ces variétés étant naturellement filtrées, des travaux récents de Dave et Haller ont montré que les suites d’opérateurs BGG satisfaisaient une certaine forme de la condition de Rockland (une extension de l’ellipticité pour les opérateurs pseudodifférentiels).

Dans cet exposé nous étendons la construction d’opérateurs de type BGG aux variétés feuilletés admettant une géométrie parabolique transverse. Nous définissons une condition de Rockland transverse adaptée à ces variétés et montrons que le complexe de de Rham tordu et les suites d’opérateurs BGG satisfont cette condition.

A set of integers greater than 1 is primitive if no member in the set divides another. Erdős proved in the 1930s that the sum of 1/(a log a), ranging over a in A, is uniformly bounded over all choices of primitive sets A. In the 1980s he asked if this bound is attained for the set of prime numbers. In this talk we describe recent work which answers Erdős’ conjecture in the affirmative. We will also discuss applications to old questions of Erdős, Sárközy, and Szemerédi from the 1960s.