Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Je proposerai une excursion aux « Fondements mathématiques » (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la « crise des fondements » ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre « On Numbers and Games » (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de « tous les nombres » (« All Numbers Great and Small »). Le terme « nombres surréels », crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper  » Automorphisms of fields of formal power series » (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper « The automorphism group of a valued field of generalised formal power series » (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.

One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\Re s \: s = 0$ must obey the asymptotic law $\tau(x) = o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem. 

We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem. 

Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.

La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont « mal approximés », le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.

La notion d’ensemble de Kazhdan dans un groupe topologique provient de la théorie géométrique des groupes, en lien avec la propriété (T) de Kazhdan. L’existence d’un ensemble de Kazhdan « petit » implique une certaine« rigidité » du groupe. Dans notre exposé, de type colloquium, on regardera les ensembles de Kazhdan d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et d’un point de vue aléatoire. On discutera aussi le rôle joué par les ensembles de Kazhdan dans un contre-exemple à une conjecture de Russell Lyons (1998), motivée par la conjecture $\times 2$, $\times 3$ de Furstenberg. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Sophie Grivaux et Etienne Matheron.

Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites « criblées ». J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.

Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.

We present a new elementary algorithm for computing $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n),$ where $\mu(n)$ is the Möbius function. Our algorithm takes
\[\begin{aligned}
\mathrm{time} \ \ O_\epsilon\left(x^{\frac{3}{5}} (\log x)^{\frac{3}{5}+\epsilon} \right)
\ \ \mathrm{and}\ \ \mathrm{space} \ \ O\left(x^{\frac{3}{10}} (\log x)^{\frac{13}{10}}
\right)\end{aligned},\] which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta(s)$ that only takes time $O(x^{1/2 + \epsilon})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andrés Helfgott.