Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Je proposerai une excursion aux « Fondements mathématiques » (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la « crise des fondements » ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre « On Numbers and Games » (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de « tous les nombres » (« All Numbers Great and Small »). Le terme « nombres surréels », crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper  » Automorphisms of fields of formal power series » (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper « The automorphism group of a valued field of generalised formal power series » (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

L’équation d’Einstein peut être obtenue comme le système d’équations d’Euler-Lagrange associées au Lagrangien d’Hilbert-Einstein, qui est essentiellement la courbure scalaire. Le tenseur de courbure, et donc l’équation d’Einstein, peut être construit et étudié sur le fibré des repères de l’espace-temps. Nous présenterons un Lagrangien sur une variété de dimension 10 dont les solutions aux équations d’Euler-Lagrange équipent la variété d’une structure qui est presque celle de l’espace des repères d’une variété d’Einstein. Ceci nous mènera à introduire une structure qui généralise celle des espaces de repères munis d’une connexion principale.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2. Nous
rappellerons tout d’abord une généralisation de ce résultat à toute
base $g\geq 2$. Nous présenterons ensuite un résultat plus récent pour
l’ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute base $g\geq 2$,
nous obtenons une formule asymptotique pour le nombre de carrés avec
une proportion $c>0$ (explicite) de chiffres préassignés.

Notre preuve suit principalement la stratégie développée par Bourgain
pour les nombres premiers en base 2, avec de nouvelles difficultés
pour les carrés. Elle est fondée sur la méthode du cercle et combine
des techniques d’analyse harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.

Les groupes quantiques compacts de matrices sont des généralisations des groupes de Lie compacts dans le contexte de la géométrie non-commutative. Malheureusement, il leur manque certains aspects fondamentaux des groupes classiques, et notamment un analogue de l’algèbre de Lie qui permettrait de définir une structure Riemannienne. Cela dit, on peut aussi retrouver cette structure de façon probabiliste à l’aide du mouvement Brownien. Je présenterai quelques travaux montrant comment cette approche probabiliste peut s’étendre au cadre quantique et éclairer le problème de la structure géométrique de ces groupes quantiques.

Soit $\varepsilon >0$. Soit $f$ une fonction multiplicative de Steinhaus ou Rademacher. Dans cet exposé nous montrons que presque sûrement
$$ \sum_{n \leqslant x} f(n) \ll \sqrt{x} (\log_2 x)^{\frac{1}{4}+ \varepsilon} $$
lorsque $x \to +\infty$. Grâce à la minoration de Harper, cela donne un majorant optimal des fluctuations de la quantité $\sum_{n \leqslant x} f(n)$ lorsque $x$ est très grand.

Un opérateur de brisure de symétrie (SBO) est un opérateur d’entrelacement d’une représentation d’un groupe à une représentation irréductible d’un sous-groupe. Si $\Pi$ et $\Pi’$ sont en dualité de Howe, l‘espace des opérateurs brisant la symétrie de la représentation de Weil à la représentation $\Pi\otimes\Pi’$ est unidimensionnel. A une constante non-nulle près, dans cet espace il y a donc un unique SBO non trivial. La construction explicite du SBO apporte des informations supplémentaires sur la correspondance de Howe. Dans cet exposé, qui se base sur un projet en cours avec Mark McKee et Tomasz Przebinda (Université de l’Oklahoma), on étudiera les SBO correspondant à des paires duales réductives irréductibles ayant un membre compact. Ce sont des opérateurs pseudo-différentiels, dont nous calculons les symboles de Weyl. On présentera quelques résultats, exemples et applications.

L’algèbre de Hopf des battages joue un rôle central dans la théorie des chemins rugueux formulée par T. Lyons à la fin du siècle dernier. Ceux-ci sont un substitut des intégrales itérées de Chen lorsque les chemins considérés ne sont pas différentiables, ni même Lipschitziens, mais seulement continus avec une régularité de Hölder.  L’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer, dont une base est donnée par les forêts enracinées décorées, joue un rôle similaire dans la théorie des chemins rugueux branchés developpée par M. Gubinelli quelques années plus tard. Au cours de cet exposé, je ferai une présentation succincte de la théorie des chemins rugueux, puis j’aborderai d’autres variantes de la notion de chemin rugueux, pilotés par d’autres algèbres de Hopf combinatoires.

In the past decades a kind of „quantum mathematics“ has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

L’exposé aura pour objectif de présenter une synthèse des méthodes et résultats relatifs aux moyennes friables de fonctions arithmétiques, principalement, mais non exclusivement, multiplicatives. Dans ce cadre, des résultats récents, obtenus en collaboration avec Régis de la Bretèche, sont relatifs à des fonctions oscillantes dont la série de Dirichlet est analytiquement proche d’une puissance réelle négative de la fonction zêta de Riemann. Des applications seront décrites.