Séminaires

Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.

Avec Hadi Salmasian, nous avons récemment obtenu une classification des paires duales réductives irréductibles dans le supergroupe de Lie orthosympléctique, ainsi qu’une généralisation du théorème de double commutant pour l’algèbre de Weyl Clifford. En particulier, cela nous donne la dualité de Howe lorsque l’action du supergroupe (G, g) est semisimple. 

Je commencerai mon exposé par un (long) rappel sur la correspondance de Howe classique pour la représentation métapléctique et spinorielle (travail en commun avec Clément Guérin et Gang Liu), avant de présenter les résultats obtenus pour les supergroupes/superalgèbres.

Soient $N\geq 1$ et $\chi_1,…,\chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

\[F(s):=\sum_{j=1}^N c_j\varepsilon_jq_j^{s/2}L(s,\chi_j),\]

où $(\varepsilon_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in\mathbb R^*$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\Im(z)\in[0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

\[\kappa_F:=\liminf_T\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\geq \frac c{N^2}\]

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

\[\kappa_F\geq \frac{2.16\times 10^{-6}}{N\log N},\]

pour tout $N$ assez grand.

Mon exposé sera conçu comme une introduction au travail récent [hal-04231695]
en collaboration avec Pierre Germain (Imperial College) et Tristan Léger (Princeton).
Dans le cas des surfaces hyperboliques d’aire infinie, nous y établissons des estimations
$L^2-L^p$ quasi-optimales des projecteurs spectraux dans une petite fenêtre.
Je commencerai par rappeler l’origine du problème,
lié au théorème de restriction de Tomas-Stein dans le cas euclidien,
et par passer en revue différents cas d’études, où la réponse attendue est moins clair

The twin prime conjecture asserts that there are infinitely many primes p for which p+2 is also prime. This conjecture appears far out of reach of current mathematical techniques. However, in 2013 Zhang achieved a breakthrough, showing that there exists some positive integer h for which p and p+h are both prime infinitely often. Equidistribution estimates for primes in arithmetic progressions to smooth moduli were a key ingredient of his work. In this talk, I will sketch what role these estimates play in proofs of bounded gaps between primes. I will also show how a refinement of the q-van der Corput method can be used to improve on equidistribution estimates of the Polymath project for primes in APs to smooth moduli.

Dans cet exposé, nous présenterons la théorie de base des formes modulaires de poids demi-entiers
et quelques progrès récents sur les changements de signes des coefficients de Fourier d’une forme primitive de poids demi-entiers.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bin Chen et Yichao Zhang.

We study various kinds of Grassmannians or Lagrangian Grassmannians over R, C or H, all of which can be expressed as G/P where G is a classical group and P is a parabolic subgroup of G with abelian unipotent radical. The same Grassmannians can also be realized as (classical) compact symmetric spaces G/K. We give explicit generators and relations for the de Rham cohomology rings of G/P=G/K. At the same time we describe certain filtered deformations of these rings, related to Clifford algebras and spin modules. While the cohomology rings are of our primary interest, the filtered setting of K-invariants in the Clifford algebra actually provides a more conceptual framework for the results we obtain. This is joint work with Kieran Calvert and Kyo Nishiyama.