Séminaires

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.

In this talk, I will present the meeting of different dynamical systems: tiling billiards, the wind-tree model and the Eaton lenses. The three of them are motivated by physics.
In the beginning of the 2000’s, physicists have conceived metamaterials with negative index of refraction. Tilling billiards’ trajectories consist of light rays moving in an arrangement of metamaterials with opposite index of refraction. The wind-tree model was introduced by Paul and Tatyana Ehrenfest to study a gaz: a particle is moving in a plane where obstacles are periodically placed, on which the particle bounces. The Eaton lenses are a periodic array of lenses in the plane, in which we consider a light ray that is reflected each time it crosses a lens.
After having introduced these dynamical systems, I will consider a mix of them: an arrangement of rectangles in the plane, like in the wind-tree model, but made of metamaterials, like for tiling billiards. I study the trajectories of light in this plane. They are refracted each time they cross a rectangle.
Using dynamics on half-translation surfaces and their moduli space, I show that these trajectories are trapped in a strip, for almost every parameter. This behavior is similar to the one of the Eaton lenses.

A couple of years ago, Ammann, Kröncke and Müller proposed a construction producing initial data sets for spacetimes with lightlike parallel spinor as studied by Baum, Leistner and Lischewski in the context of Lorentzian special holonomy. The input data for the AKM-construction essentially consists of a curve in the moduli space of Ricci-flat metrics on a closed manifold Q together with a parallel spinor for a metric representing its starting point. It remained unclear, however, to which extent all initial data for spacetimes with lightlike parallel spinor can be obtained by this construction for a fixed codimension 2 topology Q. In this talk, based on joint work with Bernd Ammann and Klaus Kröncke, we seek to improve the construction. It turns out that there is mainly only one additional freedom: to prescribe a single geometrically meaningful scalar function.

It is known since Wierzba–Wisniewski’s work in 2003 that a birational map between holomorphic symplectic fourfolds is a composition of Mukai flops. Hu and Yau conjectured that in any dimension, a birational map is a composition of Mukai elementary transformations in codimension two, that is, maps which locally look like a product of a 4-dimensional Mukai flop and the identity on a polydisc, « up to codimension three or higher ». Call  a birational map f from X to X’ a « Hu-Yau transformation » , if there are proper closed subsets Z, Z’ of codimension three or higher such that f induces a Mukai transformation in codimension two between X\Z and X’\Z’. We show that any birational map between irreducible holomorphic symplectic manifolds is a product of Hu-Yau transformations, and give an example showing that a stronger version of the conjecture cannot be true: it is in general not possible to decompose a given map into a product of Mukai elementary transformation after discarding some codimension three closed subsets from the source and the target.

La conjecture standard de type Hodge prédit la positivité de certaines formes d’intersections sur les cycles algébriques. Cette conjecture est connue en caractéristique 0 via les relations de Hodge-Riemann bilinéaires. Dans cet exposé, on s’intéressera à des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique positive, en particulier au cas des puissances de variétés abéliennes de dimension 3.

Titre : Groupes de Kac–Moody–Steinberg et quotients simples finis

Résumé : Dans cet exposé, je parlerai d'un groupe obtenu comme l'amalgame d'un triangle de petits groupes matriciels, 
et présenterai notamment un résultat sur ses quotients simples finis. Je motiverai l'étude de ce groupe et de ses quotients 
dans le contexte d'une question de Gromov, qui demande si tous les groupes hyperboliques sont résiduellement finis.
 Ensuite, j'illustrerai les outils, liés à la théorie des groupes de Kac–Moody, qui sont utilisés pour la construction de 
ces quotients.

Présentation et unicité de groupes de Kac-Moody sur les anneaux locaux

A chaque matrice de Cartan généralisée (GCM) $A$ et chaque anneau $R$, Jacques Tits a associé un groupe de Kac-Moody $G_A(R)$ défini par une présentation à la Steinberg généralisant celle des groupes de Chevalley. Dans ce travail en collaboration avec Bernhard Mühlherr, nous avons exploré la question suivante : pour un domaine $R$ de corps de fractions $K$, l’application canonique $\phi_R : G_A(R)\to G_A(K)$ est-elle injective ? Cette question a une longue histoire dans le cas classique où $A$ est une matrice de Cartan ; notre résultat principal est que l’application $\phi_R$ est injective dès que $A$ est une GCM $2$-sphérique et $R$ est un anneau de valuation.

Dans la première partie de l’exposé, j’énoncerai précisément ce théorème, et en présenterai le contexte et introduirai les notions nécessaires à sa compréhension. Dans la deuxième partie de l’exposé, j’expliquerai l’idée de base de la preuve et la raison des hypothèses faites sur $A$ et $R$. L’objectif est que les deux parties soient accessibles pour un public non-spécialiste.