Séminaires

In a striking contrast with the classical case of real-valued Sobolev functions, a Sobolev map with values into a given compact manifold N need not be approximable with smooth N-valued maps.
This observation, initially due to Schoen and Uhlenbeck (1983), gave rise to a whole area of research concerned with questions related to approximability properties of Sobolev mappings with values into a compact manifold. In this talk, I will give a broad overview of this research direction, its history, the main problems it is concerned with, important known results, as well as some recent contributions.

Bohr’s correspondence principle asserts that the predictions of classical and quantum mechanics coincide in the limit of large quantum numbers. This connection becomes especially striking when one studies Schrödinger-type equations for initial data minimising the uncertainty principle, known as « gaussian coherent states », in the semiclassical limit. More precisely, in the context of quantum mechanics, one can derive a complete asymptotic expansion in the semiclassical parameter for solutions of such equations. The aim of this talk is to explain how to obtain a similar result in the framework of Quantum Field Theory for a certain class on analytic interactions, with a particular stress on spatially cutoff $P(\phi)_2$ interactions.

Dans ce travail, nous étudions un problème de contrôle optimal impliquant un modèle simplifié pour la protection d’un champ de culture. Plus précisément, nous considérons une protection sur un champ de culture et cherchons à placer des zones d’intervention, représentées par un contrôle, afin de maximiser la protection sur le champ pendant une période donnée. En utilisant une méthode de relaxation, nous prouvons qu’il existe un contrôle qui maximise la protection et, de plus, ce contrôle doit être de type bang-bang. Par ailleurs, avec des hypothèses supplémentaires sur la géométrie du champ de culture, certains résultats sur la forme de l’intervention optimale sont démontrés en utilisant des résultats de comparaison via les symétrisations de Schwarz et de Steiner. Enfin, des simulations numériques sont réalisées pour illustrer ces résultats.

A Euclidean Random Assignment Problem (ERAP) is the study of the random optimal cost of assigning blue points to red points, where these two sets form independent binomial point processes on the same metric space.

Originally introduced in physics more than three decades ago as toy models for spin glasses, ERAPs serve as discrete analogues of the celebrated Monge–Kantorovich problem in optimal transport and have found numerous applications, including in satellite-based Earth observation.

In this talk, I will first introduce ERAPs and review known results for cases where the underlying metric space has additional structure, such as Euclidean spaces of dimension $d \geq 1$.

Then I will show that, when blue and red points are uniformly distributed on the unit circle, the cost of the quadratic ERAP is asymptotically distributed as $\sum_{k=1}^\infty E_k$, where $(E_k)_{k \geq 1}$ is a family of independent $\mathrm{Exp}(k^2)$ random variables.

Talk mostly based on my PhD Thesis.

Dans cet exposé nous présenterons des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de solution pour certains problèmes elliptiques du second ordre complètement non linéaires. Les opérateurs sont du modèle du p-Laplacien mais ne peuvent pas se mettre sous forme divergente. Les solutions le seront donc dans le sens des solutions de viscosité.  Dans la première partie, notre démarche sera d’abord de prouver l’existence de sous- et sur- solutions de viscosité. Puis, nous montrerons l’existence de solutions de viscosité à l’aide de la méthode de Perron. Nous prouverons l’unicité de la solution et discuterons sa régularité. Dans la deuxième partie, nous considérerons un opérateur symétriquement radiale (un des opérateurs  de Pucci) et prouverons l’existence et l’unicité de solution radiale dans un anneau. Enfin nous donnerons certains résultats récents et perspectives de recherche sur les propriétés de ces équations.

We consider linear waves on a bounded domain where one part of the boundary is governed by a coupled lower-dimensional wave equation (i.e., dynamic Ventcel/Wentzell boundary condition) and is subject to viscous damping. The other (possibly empty) part is left at rest. When the dynamic boundary geometrically controls the domain, we show that the total energy of classical solutions decays like 1/t. The proof relies on an analysis of high-frequency quasimodes, suitable boundary estimates obtained in different microlocal regimes, and a special decoupling argument. Optimality is assessed via an appropriate quasimode construction.

Ongoing work with Nicolas Vanspranghe (Inria team DISCO, L2S –CentraleSupélec).

More than 50 years ago, Moore predicted that the number of transistors on a microchip doubles every two years. This exponential growth is approaching its physical limit, highlighting the need for alternative computing paradigms. One promising avenue is neuromorphic computing, which aims to emulate the structure and function of the human brain. A key enabling technology is the memristor, a nonlinear resistor with memory. Memristors are capable of mimicking the dynamic conductance behavior of biological synapses, making them well-suited for implementing energy-efficient neural networks.

This talk focuses on the mathematical analysis of three-species drift-diffusion equations for memristors. We investigate the existence and boundedness of global-in-time weak solutions. The mathematical difficulties originate from the three-species situation and the different types of boundary conditions. These issues are addressed by combining free energy estimates with local and global compactness arguments. Additionally, we analyze memristor models coupled with electrical networks. One-dimensional numerical simulations capture the characteristic hysteresis behavior in the current-voltage curves, which are a fingerprint for memristive devices.

In this talk, I will present recent results on unique continuation for semilinear wave and Schrödinger equations with analytic nonlinearities. After recalling some motivation and classical results on the topic, I will describe a new method, introduced in a joint work with Camille Laurent (CNRS, LMR), that relies on analyticity-in-time regularization in finite time for solutions vanishing on a subset satisfying the Geometric Control Condition (GCC). The proof combines tools from control theory with ideas of Hale and Raugel on the regularity of attractors in dynamical systems. In a more recent work, we refined this approach and applied it to Schrödinger equations on compact manifolds, showing that the GCC suffices for unique continuation, thus answering in the affirmative an open problem posed by Dehman, Gérard, and Lebeau (2006) for the nonlinear case. The method is abstract and can also be applied to study similar questions for other PDEs.

Inspiré par la physique des films de savon, le problème de Plateau est un problème classique des mathématiques qui consiste à minimiser l’aire d’une surface s’appuyant sur un bord. Il admet en fait de nombreuses formulations, certaines ne permettant pas toujours de représenter fidèlement les films de savon. Dans cet exposé, on s’intéresse à un modèle issu des travaux d’Almgren et de David, particulièrement bien adapté pour décrire ces films. Il s’agit du «problème de Plateau glissant», où l’on minimise les déformations continues d’une surface sans la détacher du bord. Bien qu’assez intuitive, c’est l’une des formulations qui résiste le mieux aux mathématiciens car on ne connait toujours pas de théorème d’existence général. On présentera un résultat d’existence dans un cas particulier, obtenu avec G. David.