Séminaires

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d’opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une ${\mathrm{C}}^{\ast }-$algèbre à laquelle appartient les opérateurs d’onde. L’étude du quotient de cette algèbre par l’idéal des opérateurs compacts mène directement à l’existence de théorèmes d’indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s’interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. Aucun prérequis ${\mathrm{C}}^{\ast }-$algébrique n’est nécessaire pour cette présentation.

Le séminaire aura lieu en visio-conférence dans la salle de conférence.

This talk deals with the stability analysis of discrete shock profiles
for systems of conservation laws. These profiles correspond to
approximations of shocks of systems of conservation laws by
conservative finite difference schemes. Discontinuous solutions
appear naturally in the study of systems of conservation laws, which
can model many physical situations, such as gas dynamics. Existence
and stability of discrete shock profiles for each stable shock of the
approximated system of conservation laws is seen as an
improved consistency condition and implies that the finite difference
scheme should be able to approach discontinuities fairly precisely.

The aim of the talk is to review some stability results regarding
discrete shock profiles and to present a recent effort to extend them.
More precisely, most results known up until recently are focused on
the stability of discrete shock profiles associated with shocks
of small amplitude. The talk will focus on a nonlinear orbital
stability result for discrete shock profiles in quite a general
setting, where the smallness assumption on the shock’s amplitude is
replaced by a spectral stability assumption on the linear operator
obtained by linearizing the numerical scheme about the discrete shock
profile. This nonlinear orbital stability result relies on a precise
description of the Green’s function of the linearization about
discrete profiles.

Dans cet exposé nous commencerons par expliquer le cas linéaire et comment la méthode de pénalisation utilisée notamment par Donati en 1982 permet de montrer l’existence d’une solution à un problème d’obstacle dans le cadre variationnel usuel et l’inégalité de Lewy-Stampacchia associée. Nous aborderons ensuite le cas d’équations paraboliques quasi-linéaires et les difficultés supplémentaires liées à la perte de la monotonie de l’opérateur. Avec une modification ad-hoc de l’opérateur, un résultat de densité et un lemme d’intégration par parties à la Mignot-Bamberger-Alt-Luckhaus nous démontrerons une extension des résultats de Donati pour une classe plus générale d’équations et toujours dans le cadre variationnel.
Enfin, si le temps le permet, nous discuterons de la généralisation aux cas de donnée dans $L^1$, hors du cadre variationnel, avec l’utilisation de la notion de solutions entropiques pour le problème d’obstacle et de la notion de solutions renormalisées pour l’inégalité de Lewy-Stampacchia associée.

Exposé dans le cadre des journées thématiques « Quantum Lo » : mécanique quantique en Lorraine

Studying the spectrum of the Hamiltonian as a function of the control parameters plays a fundamental role in
establishing which states can be joined one to another by adiabatic control. More, generally,
conditions based on the behavior of the eigenvalue intersections can be used to establish operator controllability (not necessarily using adiabatic steering). In this talk we will present some results in this direction and also discuss how the spectrum can be used to deduce controllability when some control parameters are imposed to be constant.

On s’intéresse au temps nécessaire pour transférer un système quantique fermé de dimension finie d’un état initial vers une cible donnée. On fera le lien avec le contrôle en norme L^1 minimale pour de tels systèmes et on en déduira des stratégies efficaces pour les cas où les approximations riemanniennes usuelles sont inefficaces.
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Dans le cadre des journées thématiques « Quantum Lo  : mécanique quantique en Lorraine »

Venue:
« Salle de conférence »  of the « Institut Élie Cartan de Lorraine: IECL », Nancy.

Objective:
The workshop is a moment of exchange between the Mathematics and Physics communities, specifically focusing on quantum control problems.

Organizers:
Alessandro DUCA, Killian LUTZ, Yannick PRIVAT

Senior speakers:
Gaspard BEUGNOT, Thomas CHAMBRION, Viviana GRASSELLI, Eugenio POZZOLI, Rémi ROBIN, Mario SIGALOTTI, and Dominique SUGNY.

Junior speakers:
Vincent HARDEL, Jean-Gabriel HARTMANN, Denis JANKOVIC and Killian LUTZ.

Planning Monday 17 March:

• 09H45 – 10H30 : Gaspard BEUGNOT
• 10H30 – 11H15 : Rémi ROBIN
• 11H15 – 11H35 : PAUSE
• 11H35 – 12H20 : Dominique SUGNY
• 13H00 – 14H30 : Lunch INRIA
• 14H30 – 15H15 : Viviana GRASSELLI
• 15H15 – 15H45 : Denis JANKOVIC
• 15H45 – 16H30 : COFFEE BREAK + DISCUSSION
• 16H30 – 17H00 : Jean-Gabriel HARTMANN
• 19H30 : Dinner at Café FOY

Planning Tuesday 18 March:

• 09H30 – 10H15 : Thomas CHAMBRION
• 10H15 – 10H45 : COFFEE BREAK
• 10H45 – 11H30 : Mario SIGALOTTI
• 11H30 – 12H00 : PAUSE
• 12H00 – 12H30 : Vincent HARDEL
• 13H00 – 14H30 : Lunch INRIA
• 14H30 – 15H15 : Eugenio POZZOLI
• 15H15 – 15H45 : Killian LUTZ
• 15H45 – : COFFEE BREAK

Abstracts :

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T. Chambrion
Title: Contrôle en temps petit des systèmes bilinéaires conservatifs en
dimension finieAbstract : on s’intéresse au temps nécessaire pour transférer un système
quantique fermé de dimension finie d’un état initial vers une cible
donnée. On fera le lien avec le contrôle en norme L^1 minimale pour de
tels systèmes et on en déduira des stratégies efficaces pour les cas où
les approximations riemanniennes usuelles sont inefficaces.

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V. Grasselli
Title: Semirelativistic Hartree equation and speed of propagationAbstract: We will consider the semirelativistic Hartree equation, which is the effective equation describing a boson star, a large group of gravitating bosons.
First, we will briefly describe under which conditions this non linear equation admits a global solution. Then we will study some dispersive properties of the solution, in particular how fast it propagates and its maximal and minimal velocities of propagation. These results are a joint work with Sébastien Breteaux and Jérémy Faupin.

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Jean-Gabriel Hartmann
Title: Optimal control techniques for quantum computing with qudits.
Abstract: In this study, we investigate pulse-level optimal control techniques for quantum gates in qudit systems using the Givens Rotation Decomposition (GRD) and the GRAPE algorithm. These methods are evaluated using benchmark gates including the Quantum Fourier Transform (QFT), Grover’s Search Algorithm and Haar-random gates.  In this talk we present some initial results of our numerical simulations, demonstrating the differences in performance between these approaches, as well as the robustness of each method to environmental noise and control errors. These results highlight the potential of qudits in offering competitive gate efficiencies, suggesting pathways for optimality in gate design as well as extensions to multi-qudit systems.

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Denis Jankovic
Titre: Gradient-based optimization of the PMP-informed generator of optimal pulses for qudit control.Abstract: This presentation explores a hybrid approach to designing control pulses for multi-level quantum systems (qudits). By combining Pontryagin’s Maximum Principle (PMP) with gradient-based optimization, we aim to guide the pulse-generation process more effectively. We discuss the theoretical foundations, outline the algorithmic framework, and present initial numerical results that suggest potential improvements in both accuracy and computational efficiency. The goal is to provide insight into how a PMP-informed strategy may offer a promising direction for quantum control of fast pulses.

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K. Lutz
Title: Estimations a priori pour la synthèse de porte logique optimal en temps et précision.Abstract: Quel temps incompressible est nécessaire à l’exécution d’un calcul quantique et quelle précision peut-on attendre de son résultat ? Ce travail porte sur le contrôle en dimension finie de l’équation de GKS-Lindblad modélisant la décohérence des états quantiques, une source d’erreurs de calculs.
En se restreignant à des contrôles bornés ponctuellement et étant donné une porte logique idéale, nous mettons en évidence l’existence d’un temps minimal de contrôle permettant son implémentation avec une précision maximale. Pour le contrôle correspondant, nous établissons des estimations a priori qui minorent et majorent à la fois le temps d’exécution et les erreurs de calculs. Ces estimations, explicites et facilement calculables à partir des données, permettent d’évaluer a posteriori la pertinence de contrôles obtenus par optimisation numérique.

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E. Pozzoli
Title: Small-time approximate controllability of bilinear Schrödinger equations and diffeomorphismsAbstract: We propose a new method to prove the global approximate controllability of bilinear Schrödinger PDEs posed on a manifold M. Contrarily to previous ones, it works in arbitrarily small time and does not require a discrete spectrum.
This approach consists in controlling separately the radial and the angular part of the wavefunction thanks to the control of the group of diffeomorphisms and the control of phases. The control of the radial part uses the transitivity of the group action of diffeomorphisms on positive densities proved by Moser.
We develop this approach on two examples of Schrödinger equations, posed tori and euclidean spaces, for which the small-time control of phases was recently proved by Duca and Nersesyan. We prove that it implies the small-time control of flows of vector fields thanks to Lie bracket techniques. Combining this property with the simplicity of the diffeomorphism group proved by Thurston, we obtain the result.

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R. Robin
Title: Numerical analysis of the Lindblad equationAbstract : In this talk, we will present recent advances in the numerical approximation of the Lindblad master equation, focusing on infinite-dimensional Hilbert spaces. After reviewing the key properties of the evolution of the Lindblad equation, we will discuss both spatial discretization using Galerkin approximations and temporal discretization methods. The first highlighted contribution is the introduction of an a posteriori error estimate. The second is the analysis of new structure-preserving time discretization schemes. These contributions are the result of joint works with Paul-Louis Etienney, Pierre Rouchon and Lev-Arcady Sellem.

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M. Sigalotti
Title: Eigenvalue intersections and controllabilityAbstract: Studying the spectrum of the Hamiltonian as a function of the control parameters plays a fundamental role in
establishing which states can be joined one to another by adiabatic control. More, generally,
conditions based on the behavior of the eigenvalue intersections can be used to establish operator controllability (not necessarily using adiabatic steering). In this talk we will present some results in this direction and also discuss how the spectrum can be used to deduce controllability when some control parameters are imposed to be constant.

In this talk I present a joint paper with Umberto De Maio (Università degli Studi di Napoli « Federico II », Italy) and Catalin Lefter (Al.I.Cuza University and Octav Mayer Institute of Mathematics, Iasi, Romania).

This paper is devoted to studying the null internal controllability of a Kirchhoff-Love thin plate with a middle surface having a comb-like shaped structure with a large number of thin fingers described by a small positive parameter $\epsilon$. It is often impossible to directly approach such a problem numerically, due to the large number of thin fingers. So an asymptotic analysis is needed. In this paper, we first prove that the problem is null controllable at each level $\epsilon$. We then prove that the sequence of the respective controls with minimal $L^2$ norm converges, as $\epsilon$ vanishes, to a limit control function ensuring the optimal null controllability of a degenerate limit problem set in a domain without fingers.

We consider a rigid body moving in an inviscid compressible fluid within a bounded domain. The fluid is thereby described by the compressible Euler equations, while the rigid body obeys the conservation of linear and angular momentum. This gives us a coupled system comprising an ODE and the initial boundary value problem (IBVP) of a hyperbolic system with characteristic boundary, where the fluid velocity matches the solid velocity along the normal direction of the solid boundary.
We establish the existence of a unique classical solution to this coupled system. Our approach involves constructing an approximate system with a non-characteristic boundary, which enables the decoupling of the fluid and solid equations. To obtain uniform norm control, we employ the conormal vector fields to derive the conormal and vorticity estimates, by using the structure of Euler equations. Finally, we are able to obtain the solution by compactness principle.

La journée en l’honneur de Georges Rhin aura lieu le vendredi 7 mars. Plus de détails ici.

Dans cet exposé, nous montrerons un résultat de contrôlabilité à zéro
d’une équation parabolique d’ordre quatre sous des conditions aux
limites générales satisfaisant la condition de Lopatinskii-Sapiro. Pour
ce faire, nous établirons une inégalité spectrale pour la solution du
système parabolique, ce qui nous conduira au résultat de contrôlabilité
à zéro. Cette inégalité spectrale découle d’une inégalité
d’interpolation obtenue grâce à une inégalité de Carleman pour
l’opérateur d’ordre quatre sous les conditions aux limites satisfaisant
la condition de Lopatinskii-Sapiro.

C’est un travail en collaboration avec Luc Robbiano.