Séminaires

In this talk, we will study a class of metric spaces that satisfy a strengthened version of the triangle inequality, known as metric spaces with small rough angles (SRA), and that capture the idea that all metric angles determined by triples of points are, in a certain sense, small. We will explore different scenarios in which an arbitrary metric space may fall into one of two possibilities: either it does not contain sufficiently large subsets satisfying the SRA condition, or it admits arbitrarily large subsets that do satisfy this property. We will also see that these conditions are particularly relevant for investigating whether self-contracted curves, a class of curves that provides a natural framework for the study of convex gradient-type dynamical systems, have finite length.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat de contrôlabilité locale pour une large classe d’équations d’évolution sur (0,1) entre des états de fonctions analytiques. Si l’on prescrit des conditions au bord, la contrôlabilité a lieu entre fonctions satisfaisant des conditions de compatibilité. La preuve utilise la résolution d’un problème mal posé à partir du bord dans des espaces Gevrey ainsi que la description du lien entre le « jet » des dérivées en temps et celui des dérivées en espace. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ivonne Rivas et Lionel Rosier.

Nous étudions une fonctionnelle d’énergie en deux dimensions motivée par des modèles de cristaux liquides présentant des constantes élastiques très disparates. L’énergie s’applique aux champs de vecteurs u et est formée de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau à laquelle on ajoute un terme pénalisant l’énergie L2 de la divergence avec un coefficient de l’ordre de log(1/eps). Nous considérons des configurations avec des conditions aux limites tangentielles dans un régime d’énergie modéré.

Dans ce régime, le modèle a des propriétés de régularité et de compacité plus fortes que celles données pas la théorie classique sur Ginzburg-Landau. Alors que cette dernière ne donne qu’une compacité faible du paramètre d’ordre u et une convergence des jacobiens vers des sommes de masses de Dirac représentant des singularités de type vortex, nous prouvons la compacité forte du paramètre d’ordre et donnons une description fine des singularités. Ces travaux mettent en évidence un lien étroit avec la théorie sur la fonctionnelle d’Aviles-Giga, en particulier un phénomène de régularité par compensation.

Simulating and modeling flexible fibers is an crucial issue in many microbiological problems. We focus on a recent result on convergence and well-posedness of the equations governing the dynamics of a discretized version of a continuous, flexible, inextensible filament immersed in a fluid at a low-Reynolds number.
The elastohydrodynamic equation governing the motion of such a filament is a nonlinear 4th-order PDE system. Complexity in analytical and numerical study of the system has led to the use of simplified models, e.g. the ”N-link” [F. Alouges, A. DeSimone, L. Giraldi, M. Zoppello, Self-propulsion of slender microswimmers by curvature control : N-link swimmers, Int. J. Non-Linear Mech.,2013.], a mechanical discretization into N rigid segments with elastic joints.
While numerical evidence shows convergence of this model to the continuous case [C. Moreau, L. Giraldi, H. Gadˆelha, The asymptotic coarse-graining formulation of slender-rods, bio-filaments and flagella, J. R. Soc. Interface, 2018], rigorous convergence is nontrivial: the equations of the N-link are not a classical approximation of the underlying PDE.
We prove existence and uniqueness of solutions for the N-link system and demonstrate their convergence to solutions of the classical PDE, leading also to an alternative proof of existence for the continuous PDE, complementing [Y. Mori, L. Ohm, Well-posedness and applications of classical elastohydrodynamics for a swimming filament, Nonlinearity, 2023].
This work was done in collaboration with F. Alouges, A. Lefebvre-Lepot and C. Moreau.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat récent de stabilisation obtenu avec Hugo Parada (IECL) et portant sur l’équation des ondes avec une condition au bord hyperbolique (ou condition au bord de Wentzell dynamique). Dans ce cas, le comportement au bord est régi par une équation des ondes couplée à l’équation des ondes interne.

Nous considérerons une configuration mixte où le bord est fait d’une partie dynamique et d’une autre (disjointe, éventuellement vide) laissée au repos. Lorsque la partie dynamique du bord est amortie et satisfait la condition de contrôle géométrique, nous avons montré que l’énergie des solutions classiques (ou fortes) décroît comme 1/t en temps long. Notre démonstration repose sur une estimation de la résolvante du système via l’analyse de quasi-modes aux hautes fréquences, des inégalités de traces obtenues dans différents régimes microlocaux et un argument spécial de découplage. Une analyse spectrale de « modes concentrés » dans le cas du disque révèle que ce taux est optimal. En particulier, la stabilité du système est non uniforme : l’énergie de certaines solutions faibles peut converger vers zéro de manière arbitrairement lente.

J’en profiterai pour rappeler également quelques résultats classiques de stabilisation des ondes par une condition de Neumann amortie statique et tâcherai alors d’expliquer « avec les mains » en quoi la dynamique au bord est une entrave à la stabilité uniforme.

Dans cet exposé, nous étudions un modèle de nanofil ferromagnétique avec un défaut, représenté sous la forme d’une encoche unique et unimodale. Par un argument de « théorème du col », nous démontrons l’existence et l’unicité d’un point critique pour l’énergie ferromagnétique associée à ce modèle. Ce point critique obtenu correspond à une solution topologique (appelée un mur de domaines) localisée au voisinage de l’encoche.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Raphaël Côte, Guillaume Ferrière, Ludovic Godard-Cadillac et Yannick Privat.

Programme :

Jeudi 29 Janvier

• 10h30 – 11h00 | Accueil
• 11h00 – 12h30 | Groupe de travail –  Nabile Boussaid
  Titre : Contrôle bilinéaire simultané en projection en présence de spectre continu pour l’équation de Schrödinger
  Résumé : Je vais commencer par un résultat de dimension finie, ce résultat n’est pas le plus général, mais donne une condition de contrôlabilité qui s’étend à la dimension infinie. La suite consistera à montrer comment il s’étend lorsque l’espace de Hilbert sous-jacent possède une base de vecteur propre pour l’opérateur de dérive. C’est le cas où il n’y a « pas » de spectre continu. L’idée est d’exploiter des résultats de moyennisation.
  Finalement, nous exploiterons une généralisation du théorème RAGE pour considérer un contrôle en présence de spectre continu. Nous reviendrons sur la preuve de ce théorème classique.
  Il s’agit de résultats en cours avec Marco Caponigro et Thomas Chambrion.
• 12h30 – 14h30 | Pause déjeuner
• 14h30 – 15h30 | Exposé – Killian Lutz
  Titre : Résonance paramétrique et contrôle optimal des oscillateurs
  Résumé : Cet exposé porte sur le contrôle d’un oscillateur harmonique classique dont la fréquence peut-être expérimentalement contrôlée au cours du temps. L’objectif est de transférer en temps minimal le système entre deux états de déplacement donnés et d’énergie cinétique nulle. On discutera de la démarche de résolution basée sur le portrait de phase et d’un lien intriguant avec la résonance paramétrique, un type d’instabilité bien connu en mécanique.
  Ces travaux récents sont réalisés en collaboration avec Yannick Privat et les physiciens Paul-Antoine Hervieux, Giovanni Manfredi et Vincent Hardel.
• 16h00 – 17h00 | Exposé – Cristobal Loyola
  Titre : Unique continuation for semilinear waves and Schrödinger equations under the geometric control condition
  Résumé : In this talk, I will present recent results on unique continuation for semilinear wave and Schrödinger equations with analytic nonlinearities. After recalling some motivation and classical results on the topic, I will describe a new method, introduced in a joint work with Camille Laurent (CNRS, LMR), that relies on analyticity-in-time regularization in finite time for solutions vanishing on a subset satisfying the Geometric Control Condition (GCC). The proof combines tools from control theory with ideas of Hale and Raugel on the regularity of attractors in dynamical systems. In a more recent work, we refined this approach and applied it to Schrödinger equations on compact manifolds, showing that the GCC suffices for unique continuation, thus answering in the affirmative an open problem posed by Dehman, Gérard, and Lebeau (2006) for the nonlinear case. The method is abstract and can also be applied to study similar questions for other PDEs.
  
• 17h00 – 17h30 | Discussions
• 19h30 | Diner Social | Grand Café Foy : https://grandcafefoy.com/

Vendredi 30 Janvier

• 09h30 – 11h00 | Groupe de Travail –  Tristan Robert
  Titre : Sur la contrôlabilité locale exacte de l’équation de Schrödinger non-linéaire périodique
  Résumé : Dans cet exposé, on s’intéressera au contrôle local exact de l’équation de Schrödinger en dimension 1 avec conditions périodiques, en présence de contrôles bilinéaires, et au voisinage des modes propres. On commencera par passer rapidement en revue la méthode des moments, et en particulier les conditions naturelles sur les potentiels de contrôle, qui permettent d’obtenir la contrôlabilité du linéarisé. On expliquera ensuite en quoi ces conditions nécessitent de développer une théorie de Cauchy adaptée afin de pouvoir traiter le problème non-linéaire. On verra ainsi comment obtenir soit des résultats positifs de contrôle bilinéaire local exact, soit des obstructions topologiques à la contrôlabilité locale exacte, en fonction de la régularité des contrôles. Cet exposé est basé sur des travaux en cours en collaboration avec Rémi Buffe, Alessandro Duca, et Laurent Thomann.
• 11h00 – 11h30 | Pause café
• 11h30 – 12h30 | Exposé –  Nazim Kacher
  Titre : Backstepping de Fredholm pour les opérateurs auto-adjoints et application à la stabilisation rapide d’équations paraboliques en toute dimension
  Résumé : Le backstepping de Fredholm est un outil de stabilisation rapide, qui relie une équation à stabiliser à une équation cible, via une certaine transformation. Cette méthode se voyait jusque là contrainte à la dimension 1 en espace car pas adaptée pour gérer la croissance des valeurs propres.
  Dans cette présentation, nous montrerons comment l’introduction d’une projection spectrale dans l’équation cible nous débarasse de cet obstacle et nous permet d’appliquer le backstepping à des équations paraboliques en dimension quelconque. Ce travail est en collaboration avec Hoai-Minh Nguyen (Sorbonne Université) et Ludovick Gagnon (Inria Lorraine).
• 12h30 – 14h30 | Pause déjeuner
• 14h30 – 15h30 | Exposé –  Eugenio Pozzoli
  Titre : Approximate controllability of bilinear wave equations in minimum time in dimensions 1 and 2
  Résumé : This talk is devoted to the global approximate controllability (GAC) of a bilinear wave equation posed on the 1 or 2-dimensional torus. The Lie algebra generated by the control potentials and the drift satisfies a certain density property. The initial state W_0 is not the zero state. Let r(W_0) be the radius of the largest ball contained in the zero set Z(W_0) of W_0. We show that the minimum time for GAC from W_0 is equal to r(W_0). We present some ideas of the proof, based on Lie bracket methods à la Duca-Nersesyan, and the forward propagation of well-prepared positive states. We also discuss some weaker results in dimensions higher than 2 (such as the GAC from any initial state in sufficiently large time, and the small-time GAC from any initial state W_0 when Z(W_0) has zero Lebesgue measure). This is a joint work in collaboration with Karine Beauchard and Thomas Perrin.
• 15h30 – 16h30 | Exposé –  Hugo Parada
  Titre : Well-posedness and control of the KdV equation on star networks
  Résumé : In this talk, we address well-posedness and control issues for the Korteweg–de Vries (KdV) equation posed on star-shaped networks. We present sharp global well-posedness results for nonhomogeneous boundary value problems and analyze stabilization, as well as exact and null controllability properties. Particular attention is paid to the role of critical lengths, localization of the controls, and control constraints. This talk is based on joint work with E. Crépeau, C. Prieur, R. A. Capistrano-Filho, and J. S. da Silva.

Dans cet exposé, je discuterai de problèmes isopérimétriques issus du modèle de goutte liquide de Gamow pour le noyau atomique, dans lequel le périmètre est perturbé par une interaction répulsive non locale. Après avoir rappelé des résultats classiques et des conjectures liés au modèle original, je présenterai des résultats qui diffèrent du cas classique lorsque le noyau de répulsion décroît suffisamment rapidement. Je m’intéresserai en particulier aux questions d’existence de minimiseurs, de régularité et de phénomènes de brisure de symétrie.

Les systèmes de lois de conservation hyperboliques tendent naturellement à avoir des solutions discontinues. Une des problématiques centrales en termes d’analyse numérique pour ce type d’EDP porte donc sur la capacité d’un schéma numérique à capturer ces discontinuités. Les profils de choc totalement discrets correspondent aux approximations des chocs par des schémas aux différences finies conservatifs. L’existence et la stabilité des profils de choc totalement discrets sont alors considérées comme une condition améliorée de consistance et impliquent que le schéma aux différences finies devrait être capable d’approcher les discontinuités assez précisément.

L’objectif de cet exposé sera de présenter les récents développements concernant la stabilité des profils de choc totalement discrets. Plus précisément, la plupart des résultats connus jusqu’à récemment se sont concentrés sur la stabilité des profils de choc de faibles amplitudes. On présentera un résultat de stabilité nonlinéaire orbitale pour les profils de choc totalement discrets dans un cadre assez général, où l’hypothèse de faible amplitude a été remplacée par une hypothèse de stabilité spectrale vérifiée par le linéarisé du schéma au niveau du profil de choc totalement discret. Ce résultat repose de manière centrale sur une description précise de la fonction de Green du même linéarisé.