Séminaires

Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Je vais donner un survol des groupes quantiques semi-simples du point de vue géométrie non-commutative.  Je commencerai par expliquer la quantification des groupes de Lie semisimples compacts et complexes. Puis on discutera la géométrie des variétés de drapeaux quantiques, en commençant par l’exemple fondamental de la sphère de Podlès, une quantification de la sphère de Riemann $\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1.$

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0\le \theta ,\rho <1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n\ge 1$, posons $$s_n:=s_n(\theta ,\rho )=\lfloor n\theta +\rho \rfloor –\lfloor (n-1)\theta +\rho \rfloor$$ Alors, le mot infini $${\mathbf{s}}_{\theta ,\rho }:=s_1{s}_2{s}_3\dots$$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0,1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $${\xi }_{b,\theta ,\rho }=(b-1)\sum _{n\ge 1}\frac{s_n(\theta ,\rho )}{b^n}.$$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho =\theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$\sum _{j\ge 1}\frac{1}{2^{\lfloor j\gamma \rfloor }}=[0;1,2,2,2^2,2^3,2^5,2^8,2^{13},2^{21},\dots ],\gamma =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.

Almost-Riemannian manifolds constitute a class of manifolds with singular metric tensors. They give rise to well defined metric spaces and can be seen as the simplest non-equiregular sub-Riemannian structures. They attracted a lot of interested lately due to the quantum confinement phenomena, which states that a quantum particle on some classes of almost-Riemannian manifolds is confined by the singularity, while a classical particle modelled by the geodesics is not. I will explain some results concerning this phenomena, including some recent works by myself and together with U. Boscain and E. Pozzoli.

Ensembles de petite somme et ensembles de Sidon, étude de deux extrêmes (théorie des nombres, combinatoire additive).

Soutenance de thèse de Robin Riblet sous la direction d’Alain PLAGNE et d’Anne DE ROTON.

Vendredi 03 Septembre à 13h30 en salle de conférence et en visioconférence.

Soit $O_K$ l’anneau d’entiers algébriques d’un corps de nombres. Pour $a\in O_K\setminus \{0\}$ soit $N(a)$ la norme absolue de $a$, et $M=\{N(a):a\in O_K\setminus \{0\}\}$. Il est bien connu que $M$ est un sous-semi-groupe multiplicatif de ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Nous essayons de comprendre l’arithmétique de ces semi-groupes. Cela nous amène à étudier des suites à somme nulle pondérée sur des groupes abéliens finis.

Travaux en commun avec Safia Boukheche, Kamil Merito et Oscar Ordaz.

On étudie les résonances de l’opérateur de Laplace agissant sur les sections d’un fibré vectoriel homogène sur un espace symétrique Riemannien de type non-compact. On suppose que l’espace symétrique est de rang un, mais la représentation irréductible τ du compact maximal K, qui définit le fibré vectoriel, est quelconque. On détermine alors les résonances. Si on suppose de plus que τ apparaît dans les représentations de la série principale sphérique, on détermine les représentations issues des résonances. Elles sont toutes irréductibles. On trouve leurs paramètres de Langlands, leurs fronts d’onde et lesquelles sont unitarisables.

Soutenance de these