Séminaires

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un « 1 » et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre « 1 ».

Les suites dites « auto-descriptives » sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite « dirigée » par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

One of the central topics in number theory is the study of $L$-functions and the distribution of their zeros. For example, the celebrated Prime Number Theorem is equivalent to the fact that the Riemann zeta function $\zeta(s)$ does not vanish on the line $\text{Re}(s)=1$. In this talk, we will focus on quadratic Dirichlet $L$-functions: in particular, the real zeros of the derivative of quadratic Dirichlet $L$-functions $L^\prime (s, \chi_d)$, where $d$ ranges over fundamental discriminants. Baker and Montgomery conjectured that there are $\asymp \log \log |d|$ real zeros of $L^\prime(s, \chi_d)$ in the interval $[1/2, 1]$ for almost all fundamental discriminants $d$. We will highlight some recent exciting progress that comes close to proving this conjecture and then outline the proof, which is based on ideas coming from analytic and probabilistic number theory. This is based on recent joint work with Youness Lamzouri.

In this talk, we will report on a joint work with Sanoli Gun,
where we study extreme values of $L$-functions attached to quadratic twists of Dirichlet characters.
We show that for any $\epsilon >0$ and Dirichlet character $F$ of odd conductor $q$, not necessarily a primitive form,
there exists at least $X^{1-\epsilon}$ fundamental discriminants $8d$ with $X< d \le 2X$ and $(d, 2q) =1$
such that $|L(1/2, F \otimes \chi_{8d})|$ takes large values.

La construction des nombres surréels de Conway donne également une nouvelle approche aux nombres réels, que je qualifierais de « quantique », opposée à  l’approche « usuelle », que je qualifierais de « classique ». J’essaierai d’expliquer cette opposition « quantique-classique » en la mettant dans le contexte de la théorie des ensembles (je résumerai en partie mon cours « Ensembles et nombres » que je donne actuellement dans le cadre de notre école doctorale). Cette séance se veut plus un forum de discussion qu’une présentation formelle de résultats : le sujet du « quantique » est pour ainsi dire la musique de fond du travail pour beaucoup d’entre nous, et il me semble intéressant de poser et de discuter des questions sur ce fond. 

Dans un travail récent, McNew, Pollack et Singha Roy obtiennent plusieurs résultats relatifs à la distribution du facteur premier médian des entiers lorsque ce dernier est défini en tenant compte de la multiplicité. En particulier, le comportement asymptotique des lois locales est étudié et fait apparaître une transition de phase qui n’est pas décrite. Dans cet exposé, nous présenterons une partie des améliorations et des résultats obtenus pour les lois locales et certaines applications.